Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=\frac{3 x^{2}-y}{(x-u)^{2}}, f_{x y x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista f_{x y x} da função
f(x,y)=\frac{3x^{2}-y}{(x-u)^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é dada por \,f(x,y)=\dfrac{3x^{2}-y}{(x-u)^{2}}\,.
  • A variável u aparece no denominador; como o enunciado não a trata como variável dependente, vamos considerá-la como um parâmetro constante durante as diferenciações parciais em x e y.
  • A notação f_{x y x} significa que devemos calcular primeiro f_{x}=\partial f/\partial x, depois f_{x y}=\partial/\partial y(f_{x}) e por fim f_{x y x}=\partial/\partial x(f_{x y}).

Passo 2

Vamos calcular f_{x}. Usamos a regra do quociente para derivadas parciais em relação a x: se f=\dfrac{N(x,y)}{D(x)} então
f_{x}=\frac{N_{x}D - N D_{x}}{D^{2}}.
Aqui N(x,y)=3x^{2}-y e D(x)=(x-u)^{2}. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
N_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}-y)=6x,
pois y é tratado como constante em \partial/\partial x, e
D_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-u)^{2}=2(x-u).
Aplicando a fórmula do quociente:
f_{x}=\frac{6x\,(x-u)^{2}-(3x^{2}-y)\,2(x-u)}{(x-u)^{4}}.

Passo 3

Simplificamos o numerador de f_{x}. Primeiro fatoramos (x-u) quando possível:
6x\,(x-u)^{2}-(3x^{2}-y)\,2(x-u)=(x-u)\bigl(6x(x-u)-2(3x^{2}-y)\bigr).
Agora desenvolvemos o parêntese interno:
6x(x-u)-2(3x^{2}-y)=6x^{2}-6xu-(6x^{2}-2y)=-6xu+2y.
Portanto o numerador fica
(x-u)(-6xu+2y)=2(x-u)(y-3xu).
Assim
f_{x}=\frac{2(x-u)(y-3xu)}{(x-u)^{4}}=\frac{2(y-3xu)}{(x-u)^{3}},
onde no último passo cancelamos um fator (x-u) (lembrando que esse cancelamento é válido desde que x\neq u, ponto em que a função original também é singular).

Passo 4

Agora calculamos f_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(f_{x}). A expressão obtida para f_{x} é
f_{x}=\frac{2(y-3xu)}{(x-u)^{3}}.
Ao derivarmos em relação a y, x e u são constantes; o denominador (x-u)^{3} é constante nesse processo. A derivada do numerador 2(y-3xu) em relação a y é simplesmente 2. Portanto
f_{x y}=\frac{2}{(x-u)^{3}}.

Passo 5

Por fim calculamos f_{x y x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_{x y}). Temos
f_{x y}=\frac{2}{(x-u)^{3}}=2\,(x-u)^{-3}.
Derivando em relação a x (com y e u constantes), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de (x-u)^{-3} é -3(x-u)^{-4}. Assim
f_{x y x}=2\cdot\bigl(-3(x-u)^{-4}\bigr)=-\frac{6}{(x-u)^{4}}.

Resposta

-\frac{6}{(x-u)^{4}}

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