Calcule as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial mista
da função
Informações relevantes que temos:
- A função é dada por
. - A variável
aparece no denominador; como o enunciado não a trata como variável dependente, vamos considerá-la como um parâmetro constante durante as diferenciações parciais em e . - A notação
significa que devemos calcular primeiro , depois e por fim .
Passo 2
Vamos calcular
. Usamos a regra do quociente para derivadas parciais em relação a
: se
então
Aqui
e
. Calculamos as derivadas parciais necessárias:
pois
é tratado como constante em
, e
Aplicando a fórmula do quociente:
Passo 3
Simplificamos o numerador de
. Primeiro fatoramos
quando possível:
Agora desenvolvemos o parêntese interno:
Portanto o numerador fica
Assim
onde no último passo cancelamos um fator
(lembrando que esse cancelamento é válido desde que
, ponto em que a função original também é singular).
Passo 4
Agora calculamos
. A expressão obtida para
é
Ao derivarmos em relação a
,
e
são constantes; o denominador
é constante nesse processo. A derivada do numerador
em relação a
é simplesmente
. Portanto
Passo 5
Por fim calculamos
. Temos
Derivando em relação a
(com
e
constantes), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Assim