Calcule
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
-
. -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (cadeia para derivadas parciais).
Se com
e
, então as derivadas parciais são dadas por
Se
Aqui
. Explico cada termo:
-
é a derivada de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada de em relação a , tratando como constante. - Os outros termos têm interpretação análoga.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Isto vem das regras básicas: derivada de
em relação a
é
; derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Lembre: ao derivar em relação a
trata-se
como constante, e vice-versa.
- Para
:
Explicação: derivada de
em
é
; termo
é constante quando derivamos em relação a
. Ao derivar em
,
é constante e derivada de
é
.
- Para
:
Explicação: derivada de
em
é
; derivada de
em
é zero. Derivando em
,
é constante e derivada de
é
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da cadeia para
.
Substituindo ,
,
e
, obtemos:
Substituindo
Agora substituímos
e
pelas expressões em
:
Portanto
Passo 6
Simplificar a expressão de
de forma algébrica:
Primeiro termo: .
Segundo termo: .
Logo
Primeiro termo:
Segundo termo:
Logo
Passo 7
Agora calculamos
usando a mesma fórmula da cadeia.
Substituindo e
na fórmula,
Substituindo
Substituindo
e
:
Passo 8
Simplificar
:
Primeiro termo: .
Segundo termo: .
Somando,
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando,