Calcule \frac{\partial w}{\partial x} e \frac{\partial w}{\partial y}
w=u^{2}+v^{3}, u=3 x^{2}-y^{3} e v=x^{3}+2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
  • w=u^{2}+v^{3}.
  • u=3x^{2}-y^{3}.
  • v=x^{3}+2y^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial w}{\partial y}.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (cadeia para derivadas parciais).
Se w=f(u,v) com u=u(x,y) e v=v(x,y), então as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui f(u,v)=u^{2}+v^{3}. Explico cada termo:
  • \dfrac{\partial f}{\partial u} é a derivada de f em relação a u, tratando v como constante.
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada de u(x,y) em relação a x, tratando y como constante.
  • Os outros termos têm interpretação análoga.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=u^{2}+v^{3} em relação a u e v:
\frac{\partial f}{\partial u}=2u, \qquad \frac{\partial f}{\partial v}=3v^{2}.
Isto vem das regras básicas: derivada de u^{2} em relação a u é 2u; derivada de v^{3} em relação a v é 3v^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y. Lembre: ao derivar em relação a x trata-se y como constante, e vice-versa.
  • Para u=3x^{2}-y^{3}:
\frac{\partial u}{\partial x}=6x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-3y^{2}.
Explicação: derivada de 3x^{2} em x é 6x; termo -y^{3} é constante quando derivamos em relação a x. Ao derivar em y, 3x^{2} é constante e derivada de -y^{3} é -3y^{2}.
  • Para v=x^{3}+2y^{2}:
\frac{\partial v}{\partial x}=3x^{2}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=4y.
Explicação: derivada de x^{3} em x é 3x^{2}; derivada de 2y^{2} em x é zero. Derivando em y, x^{3} é constante e derivada de 2y^{2} é 4y.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial x}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial u}=2u, \dfrac{\partial f}{\partial v}=3v^{2}, \dfrac{\partial u}{\partial x}=6x e \dfrac{\partial v}{\partial x}=3x^{2}, obtemos:
\frac{\partial w}{\partial x}=2u\cdot(6x)+3v^{2}\cdot(3x^{2}).
Agora substituímos u e v pelas expressões em x,y:
u=3x^{2}-y^{3},\qquad v=x^{3}+2y^{2}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial x}=2(3x^{2}-y^{3})(6x)+3(x^{3}+2y^{2})^{2}(3x^{2}).

Passo 6

Simplificar a expressão de \dfrac{\partial w}{\partial x} de forma algébrica:
Primeiro termo: 2(3x^{2}-y^{3})(6x)=12x(3x^{2}-y^{3})=36x^{3}-12x y^{3}.
Segundo termo: 3(x^{3}+2y^{2})^{2}(3x^{2})=9x^{2}(x^{3}+2y^{2})^{2}.
Logo
\frac{\partial w}{\partial x}=36x^{3}-12x y^{3}+9x^{2}(x^{3}+2y^{2})^{2}.

Passo 7

Agora calculamos \dfrac{\partial w}{\partial y} usando a mesma fórmula da cadeia.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3y^{2} e \dfrac{\partial v}{\partial y}=4y na fórmula,
\frac{\partial w}{\partial y}=2u\cdot(-3y^{2})+3v^{2}\cdot(4y).
Substituindo u e v:
\frac{\partial w}{\partial y}=2(3x^{2}-y^{3})(-3y^{2})+3(x^{3}+2y^{2})^{2}(4y).

Passo 8

Simplificar \dfrac{\partial w}{\partial y}:
Primeiro termo: 2(3x^{2}-y^{3})(-3y^{2})=-6y^{2}(3x^{2}-y^{3})=-18x^{2}y^{2}+6y^{5}.
Segundo termo: 3(x^{3}+2y^{2})^{2}(4y)=12y(x^{3}+2y^{2})^{2}.
Somando,
\frac{\partial w}{\partial y}=-18x^{2}y^{2}+6y^{5}+12y(x^{3}+2y^{2})^{2}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=36x^{3}-12x y^{3}+9x^{2}\bigl(x^{3}+2y^{2}\bigr)^{2}
\frac{\partial w}{\partial y}=-18x^{2}y^{2}+6y^{5}+12y\bigl(x^{3}+2y^{2}\bigr)^{2}

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