Determine f_{x y z} das funções abaixo:
f(x, y, z)=x^{2} e^{y z}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}e^{y z} e pede para determinar f_{x y z}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}e^{y z}.
  • Pede-se a derivada parcial mista de terceira ordem f_{x y z} (derivar primeiro em relação a x, depois a y e por fim a z).

Passo 2

Primeiro passo de derivação: calcular f_{x}=\dfrac{\partial f}{\partial x}.
Regra usada: ao derivar parcialmente em relação a x tratam-se y e z como constantes. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A parte e^{y z} é constante em relação a x, portanto apenas multiplica o resultado.
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{y z}\bigr)=2x\,e^{y z}.
Explicação curta e amigável: pense em e^{y z} como um número fixo enquanto derivamos em x; só diferenciamos x^2.

Passo 3

Segundo passo: calcular f_{x y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(f_{x}\bigr).
Temos f_{x}=2x\,e^{y z}. Agora 2x é constante em relação a y. Para derivar e^{y z} em relação a y usa-se a regra da cadeia: se g(y)=e^{u(y)} então g'(y)=u'(y)e^{u(y)}. Aqui u(y)=y z e u'(y)=z (porque z é tratado como constante).
f_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{y z}\bigr)=2x\cdot z\,e^{y z}=2x z\,e^{y z}.
Um exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dy}e^{3y}=3e^{3y}. Aqui o papel do 3 é análogo ao de z.

Passo 4

Terceiro passo: calcular f_{x y z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(f_{x y}\bigr).
Temos f_{x y}=2x z\,e^{y z}. Agora diferenciamos em relação a z. Usamos a regra do produto porque z\,e^{y z} é produto de duas funções de z: z e e^{y z}.
Regra do produto: \dfrac{d}{dz}(u(z)v(z))=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Aqui u(z)=z com u'(z)=1, e v(z)=e^{y z} com v'(z)=y e^{y z} (pela regra da cadeia). Aplicando:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z\,e^{y z}\bigr)=1\cdot e^{y z}+z\cdot y e^{y z}=e^{y z}\bigl(1+y z\bigr).
Multiplicando pelo fator 2x que estava à frente:
f_{x y z}=2x\,e^{y z}\bigl(1+y z\bigr).

Passo 5

Checando de forma breve (sem fazer todos os passos novamente): se mudar a ordem das derivadas (por exemplo derivar primeiro em z, depois em y e por fim em x), devido à suavidade da função exponencial e polinomial, o resultado deve ser o mesmo (teorema de igualdade das derivadas parciais mistas de ordem superior quando as funções são suficientemente suaves). Isso confirma que a expressão encontrada é consistente.

Resposta

f_{x y z}=2x\,e^{y z}\bigl(1+y z\bigr)

Exercícios relacionados