Determine
das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - Pede-se a derivada parcial mista de terceira ordem
(derivar primeiro em relação a , depois a e por fim a ).
Passo 2
Primeiro passo de derivação: calcular
.
Regra usada: ao derivar parcialmente em relação a
tratam-se
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é
. A parte
é constante em relação a
, portanto apenas multiplica o resultado.
Explicação curta e amigável: pense em
como um número fixo enquanto derivamos em
; só diferenciamos
.
Passo 3
Segundo passo: calcular
.
Temos
. Agora
é constante em relação a
. Para derivar
em relação a
usa-se a regra da cadeia: se
então
. Aqui
e
(porque
é tratado como constante).
Um exemplo rápido para fixar:
. Aqui o papel do
é análogo ao de
.
Passo 4
Terceiro passo: calcular
.
Temos
. Agora diferenciamos em relação a
. Usamos a regra do produto porque
é produto de duas funções de
:
e
.
Regra do produto:
.
Aqui
com
, e
com
(pela regra da cadeia). Aplicando:
Multiplicando pelo fator
que estava à frente:
Passo 5
Checando de forma breve (sem fazer todos os passos novamente): se mudar a ordem das derivadas (por exemplo derivar primeiro em
, depois em
e por fim em
), devido à suavidade da função exponencial e polinomial, o resultado deve ser o mesmo (teorema de igualdade das derivadas parciais mistas de ordem superior quando as funções são suficientemente suaves). Isso confirma que a expressão encontrada é consistente.