Pede-se calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Informações relevantes:
w depende de x,y apenas através de u(x,y) e v(x,y).
Para obter \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y} é preciso usar a regra da cadeia (porque w é função de u,v e estes são funções de x,y), e também regras básicas de derivação (regra da potência e produto quando necessário).
Passo 2
Regra da cadeia em duas variáveis (forma que vamos usar).
Explicando rápido: \dfrac{\partial w}{\partial u} é a taxa de variação de w quando u varia mantendo v fixo; depois multiplicamos por quanto u muda quando x (ou y) varia. Mesma ideia para o termo com v.
Passo 3
Calcular \dfrac{\partial w}{\partial u} e \dfrac{\partial w}{\partial v} tratando u,v como variáveis independentes.
Aplique a regra da potência: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}.
Ao derivar em relação a x tratamos y como constante: a derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x y.
Ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}.
Agora v=\sqrt{xy}=(xy)^{1/2}.
Use a regra da potência e a regra da cadeia: se g(t)=t^{1/2} então g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Ao derivar v em relação a x temos também que derivar xy (que é y vezes x, mas visto como função de x com y constante):