Calcule \frac{\partial w}{\partial x} e \frac{\partial w}{\partial y}
w=7 u^{2}-3 v^{6}, u=x^{2} y e v=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado dá as funções
w=7u^{2}-3v^{6},\qquad u=x^{2}y,\qquad v=\sqrt{xy}.
Pede-se calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y}.
Informações relevantes:
  • w depende de x,y apenas através de u(x,y) e v(x,y).
  • Para obter \dfrac{\partial w}{\partial x} e \dfrac{\partial w}{\partial y} é preciso usar a regra da cadeia (porque w é função de u,v e estes são funções de x,y), e também regras básicas de derivação (regra da potência e produto quando necessário).

Passo 2

Regra da cadeia em duas variáveis (forma que vamos usar).
Se w=w(u,v) com u=u(x,y) e v=v(x,y), então
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial w}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}.
Explicando rápido: \dfrac{\partial w}{\partial u} é a taxa de variação de w quando u varia mantendo v fixo; depois multiplicamos por quanto u muda quando x (ou y) varia. Mesma ideia para o termo com v.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial w}{\partial u} e \dfrac{\partial w}{\partial v} tratando u,v como variáveis independentes.
Aplique a regra da potência: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n t^{n-1}.
Para w=7u^{2}-3v^{6} temos
\frac{\partial w}{\partial u}=14u, \qquad \frac{\partial w}{\partial v}=-18v^{5}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial y}.
Primeiro u=x^{2}y.
  • Ao derivar em relação a x tratamos y como constante: a derivada de x^{2} é 2x, então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x y.
  • Ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=x^{2}.
Agora v=\sqrt{xy}=(xy)^{1/2}.
Use a regra da potência e a regra da cadeia: se g(t)=t^{1/2} então g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Ao derivar v em relação a x temos também que derivar xy (que é y vezes x, mas visto como função de x com y constante):
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot y=\frac{y}{2\sqrt{xy}}.
Analogamente,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot x=\frac{x}{2\sqrt{xy}}.

Passo 5

Substituir as derivadas obtidas na fórmula da regra da cadeia.
Para \dfrac{\partial w}{\partial x}:
\frac{\partial w}{\partial x}= \underbrace{14u}_{\frac{\partial w}{\partial u}}\cdot\underbrace{2xy}_{\frac{\partial u}{\partial x}} \;+\; \underbrace{(-18v^{5})}_{\frac{\partial w}{\partial v}}\cdot\underbrace{\frac{y}{2\sqrt{xy}}}_{\frac{\partial v}{\partial x}}.
Agora simplificar cada termo. Primeiro termo:
14u\cdot 2xy = 28\,xy\,u.
Lembrando u=x^{2}y, temos
28\,xy\,u = 28\,xy\,(x^{2}y)=28\,x^{3}y^{2}.
Segundo termo:
-18v^{5}\cdot\frac{y}{2\sqrt{xy}} = -9\,v^{5}\cdot\frac{y}{\sqrt{xy}}.
Mas \sqrt{xy}=v, então \dfrac{y}{\sqrt{xy}}=\dfrac{y}{v}. Logo
-9\,v^{5}\cdot\frac{y}{v}=-9\,v^{4}y.
Como v^{4}=(\sqrt{xy})^{4}=(xy)^{2}=x^{2}y^{2}, obtemos
-9\,v^{4}y = -9\,x^{2}y^{3}.
Somando os dois termos:
\frac{\partial w}{\partial x}=28\,x^{3}y^{2}-9\,x^{2}y^{3}.
Fatorando x^{2}y^{2} fica
\frac{\partial w}{\partial x}=x^{2}y^{2}(28x-9y).
Para \dfrac{\partial w}{\partial y}:
\frac{\partial w}{\partial y}=14u\cdot x^{2} + (-18v^{5})\cdot\frac{x}{2\sqrt{xy}}.
Primeiro termo:
14u\cdot x^{2}=14x^{2}u=14x^{2}(x^{2}y)=14x^{4}y.
Segundo termo:
-18v^{5}\cdot\frac{x}{2\sqrt{xy}} = -9\,v^{5}\cdot\frac{x}{\sqrt{xy}} = -9\,v^{4}x.
Usando v^{4}=(xy)^{2}=x^{2}y^{2} obtemos
-9\,v^{4}x = -9\,x^{3}y^{2}.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial y}=14x^{4}y-9x^{3}y^{2}.
Fatorando x^{3}y fica
\frac{\partial w}{\partial y}=x^{3}y(14x-9y).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=28x^{3}y^{2}-9x^{2}y^{3}=x^{2}y^{2}(28x-9y)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=14x^{4}y-9x^{3}y^{2}=x^{3}y(14x-9y)

Exercícios relacionados