Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo à direita (termo não-homogêneo) é
.
A tarefa é encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Usamos a hipótese padrão
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Calculando as raízes:
então há uma raiz dupla
de multiplicidade
.
Passo 3
Quando uma equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, as soluções independentes correspondentes são
Aqui
com
, logo a solução geral da homogênea (solução complementar) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. O método de coeficientes indeterminados sugere tentar uma função do tipo
onde
é a base exponencial do lado direito e
é o multiplicador devido à “ressonância” quando
é raiz da característica. No nosso problema, o lado direito é
, então
e o polinômio tem grau
. Como
é raiz da característica de multiplicidade
, devemos tomar
. Assim uma forma apropriada seria
Mas existe um atalho elegante que simplifica muito as contas: fazer a substituição
Vou mostrar por que isso ajuda.
Passo 5
Calculemos
e
em termos de
. Com
:
Agora substituímos na equação original:
Fatorando
e somando termos internos:
Portanto a equação reduz-se a
Cancelando
(nunca é zero) obtemos uma equação simples para
:
Passo 6
Integramos duas vezes
. Uma primitiva é
e outra primitiva
Aqui
e
são constantes de integração. Porém, lembrar que
: os termos
fazem parte da solução homogênea
. Para obter uma solução particular podemos escolher
. Assim uma escolha conveniente é
Passo 7
Voltando para
, a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar e da solução particular:
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 9
Comentário final rápido e motivador: o truque
foi útil porque transformou o operador
aplicado a
em
, simplificando a busca da particular. Em provas, sempre que o lado direito for
e
for raiz da característica, pense em substituir
ou usar a multiplicação por potências de
no palpite.