Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = t e^{t}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo à direita (termo não-homogêneo) é t e^{t}.
    A tarefa é encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
Usamos a hipótese padrão y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2},
então há uma raiz dupla r=1 de multiplicidade 2.

Passo 3

Quando uma equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade m, as soluções independentes correspondentes são
e^{rt},\; t e^{rt},\; t^{2}e^{rt},\\ \ldots,\; t^{m-1}e^{rt}.
Aqui r=1 com m=2, logo a solução geral da homogênea (solução complementar) é
y_{c}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa. O método de coeficientes indeterminados sugere tentar uma função do tipo
y_{p}(t)=e^{at}\cdot t^{s}\cdot(\text{polinômio de mesmo grau do lado direito}),ô
onde a é a base exponencial do lado direito e s é o multiplicador devido à “ressonância” quando a é raiz da característica. No nosso problema, o lado direito é t e^{t}, então a=1 e o polinômio tem grau 1. Como a=1 é raiz da característica de multiplicidade 2, devemos tomar s=2. Assim uma forma apropriada seria
y_{p}(t)=e^{t}\big(A t^{3}+B t^{2}\big).
Mas existe um atalho elegante que simplifica muito as contas: fazer a substituição
y(t)=e^{t}u(t).
Vou mostrar por que isso ajuda.

Passo 5

Calculemos y^{\prime} e y^{\prime\prime} em termos de u. Com y=e^{t}u:
y^{\prime}=e^{t}u+e^{t}u'=e^{t}(u+u'),
y^{\prime\prime}=e^{t}(u+u')+e^{t}(u'+u'')=e^{t}(u+2u'+u'').
Agora substituímos na equação original:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = e^{t}(u+2u'+u'') -2e^{t}(u+u') + e^{t}u.
Fatorando e^{t} e somando termos internos:
= e^{t}\big(u+2u'+u''-2u-2u'+u\big) = e^{t}\big(u''\big).
Portanto a equação reduz-se a
e^{t}u'' = t e^{t}.
Cancelando e^{t} (nunca é zero) obtemos uma equação simples para u:
u'' = t.

Passo 6

Integramos duas vezes u''=t. Uma primitiva é
u'=\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} + C_{3},
e outra primitiva
u=\int\left(\frac{t^{2}}{2}+C_{3}\right)dt = \frac{t^{3}}{6} + C_{3}t + C_{4}.
Aqui C_{3} e C_{4} são constantes de integração. Porém, lembrar que y=e^{t}u: os termos e^{t}(C_{3}t+C_{4}) fazem parte da solução homogênea y_{c}. Para obter uma solução particular podemos escolher C_{3}=C_{4}=0. Assim uma escolha conveniente é
u_{p}(t)=\frac{t^{3}}{6}.

Passo 7

Voltando para y, a solução particular é
y_{p}(t)=e^{t}u_{p}(t)=e^{t}\cdot\frac{t^{3}}{6}=\frac{t^{3}}{6}e^{t}.

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar e da solução particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t}+\frac{t^{3}}{6}e^{t}.
Podemos fatorar e^{t} para ficar mais compacto:
y(t)=e^{t}\left(C_{1}+C_{2}t+\frac{t^{3}}{6}\right).

Passo 9

Comentário final rápido e motivador: o truque y=e^{t}u foi útil porque transformou o operador (D-1)^{2} aplicado a e^{t}u em e^{t}D^{2}u, simplificando a busca da particular. Em provas, sempre que o lado direito for p(t)e^{at} e a for raiz da característica, pense em substituir y=e^{at}u ou usar a multiplicação por potências de t no palpite.

Resposta

y(t)=e^{t}\left(C_{1}+C_{2}t+\dfrac{t^{3}}{6}\right)

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