Calcule
e
para
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais
e
da função
Informações importantes dadas:
- A função
é a composição do logaritmo natural com a função . - As variáveis independentes são
e .
O objetivo é encontrar as expressões dee em termos de e .
Passo 2
O que é derivada parcial: explicar devagarinho.
- A derivada parcial
é a taxa de variação de quando só varia e fica fixa (constante). - Analogamente,
é a taxa de variação de quando só varia e fica fixo.
Na prática, para calculartratamos como uma constante e diferenciamos em relação a ; para tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Passo 3
Regra da cadeia para funções compostas (explicação).
- Se
com dependente de e , então pela regra da cadeia:
- Aqui
. A ideia intuitiva: a derivada do é , multiplicada pela derivada do argumento em relação à variável que estamos diferenciando.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
-
. - Diferenciando em relação a
e lembrando que é constante: - a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante); - a derivada de
é .
Portanto
- a derivada de
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
- Usando a fórmula do Passo 3 com
e :
- Simplificando:
Observação: o denominador
é sempre positivo, então não há problema de divisão por zero.
Passo 6
Calcular
e então
.
- Diferenciando
em relação a (agora é constante): - a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
é .
Portanto
- a derivada de
- Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Comentário final rápido e incentivo.
- As derivadas parciais ficaram bem simétricas porque
depende de e de forma parecida (ambos aparecem quadrados). - Isso é comum: se a função tem
aparece uma simetria nas parciais. - Vai dar certo na prova — respira, revise este procedimento de regra da cadeia e tratamento de variáveis constantes e você resolve questões parecidas.