Calcule \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} para
g(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} da função
g(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y^{2}+1\big).
Informações importantes dadas:
  • A função g é a composição do logaritmo natural com a função u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • As variáveis independentes são x e y.
    O objetivo é encontrar as expressões de \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} em termos de x e y.

Passo 2

O que é derivada parcial: explicar devagarinho.
  • A derivada parcial \frac{\partial g}{\partial x} é a taxa de variação de g quando só x varia e y fica fixa (constante).
  • Analogamente, \frac{\partial g}{\partial y} é a taxa de variação de g quando só y varia e x fica fixo.
    Na prática, para calcular \frac{\partial g}{\partial x} tratamos y como uma constante e diferenciamos em relação a x; para \frac{\partial g}{\partial y} tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.

Passo 3

Regra da cadeia para funções compostas (explicação).
  • Se g(x,y)=\ln\!\big(u(x,y)\big) com u dependente de x e y, então pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1. A ideia intuitiva: a derivada do \ln é 1/\text{argumento}, multiplicada pela derivada do argumento em relação à variável que estamos diferenciando.

Passo 4

Calcular \frac{\partial u}{\partial x} passo a passo.
  • u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1.
  • Diferenciando em relação a x e lembrando que y é constante:
    • a derivada de x^{2} em relação a x é 2x;
    • a derivada de y^{2} em relação a x é 0 (pois y é tratado como constante);
    • a derivada de 1 é 0.
      Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \frac{\partial g}{\partial x}.
  • Usando a fórmula do Passo 3 com u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1 e \frac{\partial u}{\partial x}=2x:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2x.
  • Simplificando:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}.
Observação: o denominador x^{2}+y^{2}+1 é sempre positivo, então não há problema de divisão por zero.

Passo 6

Calcular \frac{\partial u}{\partial y} e então \frac{\partial g}{\partial y}.
  • Diferenciando u(x,y)=x^{2}+y^{2}+1 em relação a y (agora x é constante):
    • a derivada de y^{2} em relação a y é 2y;
    • a derivada de x^{2} em relação a y é 0;
    • a derivada de 1 é 0.
      Portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 7

Comentário final rápido e incentivo.
  • As derivadas parciais ficaram bem simétricas porque u depende de x e y de forma parecida (ambos aparecem quadrados).
  • Isso é comum: se a função tem x^{2}+y^{2} aparece uma simetria nas parciais.
  • Vai dar certo na prova — respira, revise este procedimento de regra da cadeia e tratamento de variáveis constantes e você resolve questões parecidas.

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}+1}
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}+1}

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