Determine
\frac{\partial f}{\partial x} \quad \text { e } \quad \frac{\partial f}{\partial y}
para
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
e avalie as derivadas parciais na origem.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),\end{cases}
e pede duas coisas:
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} para pontos fora da origem;
  • Avaliar as derivadas parciais na origem (0,0) (ou seja, calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para (x,y)\neq(0,0) a função é a razão \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
  • Em (0,0) a função vale 0 por definição.
  • As derivadas parciais na origem devem ser feitas via definição (limite) porque a expressão da função tem denominador x^{2}+y^{2} que se anula na origem.]

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0). Método: usar a regra do quociente para derivar em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa.
Lembrete (regra do quociente, versão para derivadas parciais): se f=\dfrac{N}{D} com N=N(x,y) e D=D(x,y) e D\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{(\partial_x N)\,D - N\,(\partial_x D)}{D^{2}}.
Aqui tomamos N(x,y)=x^{2}y e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Vou calcular \partial_x N e \partial_x D passo a passo.
Calcular \partial_x N:
N(x,y)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad \partial_x N = 2x y,
porque ao derivar em relação a x vemos y como constante e a derivada de x^{2} é 2x.
Calcular \partial_x D:
D(x,y)=x^{2}+y^{2} \quad\Rightarrow\quad \partial_x D = 2x,
pois y^{2} é constante quando derivamos em x.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para \partial_x f:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(2x y)(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}y)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(2x y)(x^{2}+y^{2}) - 2x\cdot x^{2}y = 2x y x^{2} + 2x y y^{2} - 2x^{3}y.
Agrupando termos similares:
2x^{3}y + 2x y^{3} - 2x^{3}y = 2x y^{3}.
Logo a expressão simplificada é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Agora calculo \partial_y f para (x,y)\neq(0,0). Uso novamente a regra do quociente, mas derivando N e D em relação a y.
Calcular \partial_y N:
N(x,y)=x^{2}y \quad\Rightarrow\quad \partial_y N = x^{2},
pois x^{2} é tratado como constante e derivada de y é 1.
Calcular \partial_y D:
D(x,y)=x^{2}+y^{2} \quad\Rightarrow\quad \partial_y D = 2y.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x^{2})(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplifico o numerador:
x^{2}(x^{2}+y^{2}) - 2y\cdot x^{2}y = x^{4} + x^{2}y^{2} - 2x^{2}y^{2} = x^{4} - x^{2}y^{2}.
Fatorando x^{2}:
x^{4} - x^{2}y^{2} = x^{2}(x^{2}-y^{2}).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Agora avalio as derivadas parciais na origem (0,0) usando a definição de derivada parcial (limite unidirecional).
Definição (em palavras): \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}, isto é, variar apenas x mantendo y=0. Igual para y.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0^{2}}=0. Como f(0,0)=0, a diferença quociente é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
Tomando o limite h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
Para k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0^{2}\cdot k}{0^{2}+k^{2}}=0. Assim
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0,
e tomando o limite k\to0,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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