Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} para pontos fora da origem;
Avaliar as derivadas parciais na origem (0,0) (ou seja, calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para (x,y)\neq(0,0) a função é a razão \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
Em (0,0) a função vale 0 por definição.
As derivadas parciais na origem devem ser feitas via definição (limite) porque a expressão da função tem denominador x^{2}+y^{2} que se anula na origem.]
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0). Método: usar a regra do quociente para derivar em relação a uma das variáveis mantendo a outra fixa.
Lembrete (regra do quociente, versão para derivadas parciais): se f=\dfrac{N}{D} com N=N(x,y) e D=D(x,y) e D\neq0, então
Agora avalio as derivadas parciais na origem (0,0) usando a definição de derivada parcial (limite unidirecional).
Definição (em palavras): \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}, isto é, variar apenas x mantendo y=0. Igual para y.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
Para h\neq0 temos f(h,0)=\dfrac{h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0^{2}}=0. Como f(0,0)=0, a diferença quociente é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
Tomando o limite h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Calculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
Para k\neq0 temos f(0,k)=\dfrac{0^{2}\cdot k}{0^{2}+k^{2}}=0. Assim
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0,
e tomando o limite k\to0,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Resposta
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0