Calcule \frac{\partial h}{\partial x} e \frac{\partial h}{\partial y} para
h(x, y)=\frac{x}{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função h e pede suas derivadas parciais em relação a x e a y:
h(x,y)=\frac{x}{x+y}.
Informações relevantes:
  • A função está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja quando x+y\neq0.
  • Precisamos calcular \dfrac{\partial h}{\partial x} (derivada parcial de h em relação a x, tratando y como constante) e \dfrac{\partial h}{\partial y} (derivada parcial em relação a y, tratando x como constante).

Passo 2

O que é uma derivada parcial, de forma prática e sem mistério:
  • A derivada parcial de h em relação a x mede a variação de h quando só x muda e y fica fixo.
  • Formalmente, \dfrac{\partial h}{\partial x} é o limite da razão de incrementos com y fixo:
\dfrac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{h(x+\Delta x,y)-h(x,y)}{\Delta x}.
Na prática da prova, usamos regras usuais de diferenciação (regra do quociente, regra do produto, etc.) aplicadas com a variável que está sendo diferenciada e tratando a outra como constante.

Passo 3

Escolha do método: aqui é conveniente usar a regra do quociente porque h é um quociente simples. Vou lembrar a regra do quociente e o que cada símbolo significa.
  • Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^2},
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
  • No caso de derivadas parciais, aplicamos essa regra em relação à variável de interesse, tratando a outra como constante.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial h}{\partial x} (passo a passo usando regra do quociente):
  • Identificar u e v como funções de x (com y tratado como constante): u(x,y)=x,\qquad v(x,y)=x+y.
  • Calcular as derivadas em relação a x (com y constante): \frac{\partial u}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=1.
  • Aplicar a regra do quociente (todas as expressões em TeX): \frac{\partial h}{\partial x} =\frac{\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)v-u\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}\right)}{v^{2}} =\frac{1\cdot(x+y)-x\cdot1}{(x+y)^{2}}.
  • Simplificar o numerador: 1\cdot(x+y)-x\cdot1=(x+y)-x=y.
  • Conclusão: \frac{\partial h}{\partial x}=\frac{y}{(x+y)^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial h}{\partial y} (passo a passo; agora x é tratada como constante):
  • Novamente, u(x,y)=x e v(x,y)=x+y.
  • Derivadas em relação a y (agora x é constante): \frac{\partial u}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=1.
  • Aplicar a regra do quociente para derivada em y: \frac{\partial h}{\partial y} =\frac{\left(\dfrac{\partial u}{\partial y}\right)v-u\left(\dfrac{\partial v}{\partial y}\right)}{v^{2}} =\frac{0\cdot(x+y)-x\cdot1}{(x+y)^{2}}.
  • Simplificar o numerador: 0\cdot(x+y)-x\cdot1=-x.
  • Conclusão: \frac{\partial h}{\partial y}=-\frac{x}{(x+y)^{2}}.

Passo 6

Observação sobre domínio e existência das derivadas:
  • Ambas as fórmulas só fazem sentido quando o denominador (x+y)^{2} é diferente de zero, isto é para \,x+y\neq0.
  • A função h é diferenciável (portanto as derivadas parciais existem) em todos os pontos do plano com x+y\neq0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}=\frac{y}{(x+y)^{2}} para x+y\neq0
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}=-\frac{x}{(x+y)^{2}} para x+y\neq0

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