Calcule
e
para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede suas derivadas parciais em relação a
e a
:
Informações relevantes:
- A função está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja quando
. - Precisamos calcular
(derivada parcial de em relação a , tratando como constante) e (derivada parcial em relação a , tratando como constante).
Passo 2
O que é uma derivada parcial, de forma prática e sem mistério:
- A derivada parcial de
em relação a mede a variação de quando só muda e fica fixo. - Formalmente,
é o limite da razão de incrementos com fixo:
Na prática da prova, usamos regras usuais de diferenciação (regra do quociente, regra do produto, etc.) aplicadas com a variável que está sendo diferenciada e tratando a outra como constante.
Passo 3
Escolha do método: aqui é conveniente usar a regra do quociente porque
é um quociente simples. Vou lembrar a regra do quociente e o que cada símbolo significa.
- Se
com , então
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
.
- No caso de derivadas parciais, aplicamos essa regra em relação à variável de interesse, tratando a outra como constante.
Passo 4
Cálculo de
(passo a passo usando regra do quociente):
- Identificar
e como funções de (com tratado como constante): - Calcular as derivadas em relação a
(com constante): - Aplicar a regra do quociente (todas as expressões em TeX):
- Simplificar o numerador:
- Conclusão:
Passo 5
Cálculo de
(passo a passo; agora
é tratada como constante):
- Novamente,
e . - Derivadas em relação a
(agora é constante): - Aplicar a regra do quociente para derivada em
: - Simplificar o numerador:
- Conclusão:
Passo 6
Observação sobre domínio e existência das derivadas:
- Ambas as fórmulas só fazem sentido quando o denominador
é diferente de zero, isto é para . - A função
é diferenciável (portanto as derivadas parciais existem) em todos os pontos do plano com .