Calcule:
\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x^{1 / 2}}{(1+x)} \right)

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada parcial em relação a x da função
f(x)=\frac{x^{1/2}}{1+x}.
Como temos uma divisão de duas funções de x, vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Seja
u(x)=x^{1/2} \quad\text{e}\quad v(x)=1+x.
A regra do quociente diz que
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{u}{v}\Bigr) =\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 3

Calculando as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}, \quad v'(x)=1.
Substituindo na regra do quociente, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x^{1/2}}{1+x}\Bigr) =\frac{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\,(1+x) - x^{1/2}\cdot 1}{(1+x)^2}.

Passo 4

Para simplificar, coloque o numerador sobre o mesmo denominador 2\sqrt{x}:
\tfrac{1}{2}x^{-1/2}(1+x)=\frac{1+x}{2\sqrt{x}}, \quad x^{1/2}=\frac{2x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}},
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\frac{1+x - 2x}{2\sqrt{x}} =\frac{1 - x}{2\sqrt{x}}.
Assim a derivada fica
\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}.

Resposta

\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x^{1/2}}{1+x}\Bigr) =\frac{1-x}{2\sqrt{x}\,(1+x)^2}.

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