Determine a área da superfície gerada fazendo girar a curva
x=t^{p}, \quad y=3 t \quad(0 \leq t \leq 10)
em torno do eixo X.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = t^{p},\quad y = 3t,\quad 0 \le t \le 10
e pede a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo X. Para resolver, vamos usar a fórmula de área de revolução em torno do eixo X:
A = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento de arco.

Passo 2

Calcular \mathrm{d}s em termos de t. Lembrando que
\mathrm{d}s = \sqrt{\Bigl(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\Bigr)^2}\,\mathrm{d}t,
temos
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = p\,t^{\,p-1}, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3.

Passo 3

Substituindo essas derivadas em \mathrm{d}s, obtemos
\mathrm{d}s = \sqrt{\bigl(p\,t^{\,p-1}\bigr)^{2} + 3^{2}}\;\mathrm{d}t = \sqrt{p^{2}\,t^{2(p-1)} + 9}\;\mathrm{d}t.

Passo 4

Na fórmula de área, y=3t. Logo
A = 2\pi \int_{0}^{10} y\,\mathrm{d}s = 2\pi \int_{0}^{10} \bigl(3t\bigr)\,\sqrt{p^{2}\,t^{2(p-1)} + 9}\;\mathrm{d}t.
Fatorando o 3 fora da integral, fica
A = 6\pi \int_{0}^{10} t\,\sqrt{p^{2}\,t^{2(p-1)} + 9}\;\mathrm{d}t.

Passo 5

Portanto, a área da superfície de revolução em torno do eixo X é dada por
A = 6\pi \int_{0}^{10} t\,\sqrt{p^{2}\,t^{2(p-1)} + 9}\;\mathrm{d}t.

Resposta

A = 6\pi \int_{0}^{10} t\,\sqrt{p^{2}\,t^{2(p-1)} + 9}\;\mathrm{d}t.

Exercícios relacionados