Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço ao lado do item e justificando a sua resposta.
No estudo de fogos de artifício, seja v(t) a velocidade de uma bomba lançada verticalmente com velocidade inicial v(0)=50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Suponha que a bomba tenha massa m=1 \mathrm{~kg}, que a aceleração da gravidade seja g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e que a força de resistência do ar seja modelada por -0,1 v(t). Nessas condições, a resultante das forças sobre a bomba é F=-1 \times 10-0,1 v(t) e a sua aceleração é a(t)=v^{\prime}(t). Se necessário, use as aproximações \ln (2)=0,7 e \ln (3)=1,1.
C a) Usando a 2 .{ }^{a} lei de Newton obtém-se que a aceleração da
bomba depende apenas de sua altura.
C|E b) A velocidade da bomba é solução de uma equação diferencial que pode ser resolvida por fator integrante.
C c) A velocidade pode ser expressa na forma v(t)=A \mathrm{e}^{-0,1 t}+B,
onde A e B são constantes positivas.
C E \mathrm{d}) A bomba alcança a altura máxima em menos de 4,5 segundos.
C \mid E e) Caso a resistência do ar fosse desconsiderada, e a força resultante fosse F=-10, então a bomba iria alcançar a altura máxima em mais de 4,5 segundos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: uma bomba de massa m=1 kg é lançada verticalmente com v(0)=50 m/s, sofre peso -mg=-10 N e resistência do ar -0,1\,v(t). Logo, pela 2.ª lei de Newton
m\,a(t)=F=-10-0,1\,v(t),
onde a(t)=v'(t). Vamos usar isso para avaliar cada item de (a) a (e).

Passo 2

Item (a): se m\,a=-10-0,1\,v(t), então
a(t)=v'(t)=-10-0,1\,v(t),
que depende de v(t), não da altura. Portanto a afirmação de que “a aceleração depende apenas da altura” é falsa.

Passo 3

Item (b): a equação para v(t) é
v'(t)+0,1\,v(t)=-10,
que é uma EDO linear de primeira ordem. Ela pode ser resolvida por fator integrante. Logo, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Item (c): a solução geral de
v'+0,1\,v=-10
é
v(t)=A\,e^{-0,1t}+B,
onde B é a solução particular dada por 0,1\,B=-10\implies B=-100. Como B=-100<0, não é positiva. Logo a parte “ A e B são constantes positivas” é falsa.

Passo 5

Item (d): com a solução particular e v(0)=50 achamos A=150 e
v(t)=150\,e^{-0,1t}-100.
Atinge-se velocidade zero quando
150\,e^{-0,1t}=100\implies e^{-0,1t}=\tfrac{2}{3}\implies -0,1t=\ln\!\tfrac{2}{3}=-0,4\implies t=4\text{ s},
que é menos de 4,5 s. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item (e): sem resistência do ar, v'(t)=-10 e v(t)=50-10t. Zera-se v em 50-10t=0\implies t=5 s, que é mais de 4,5 s. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) E
b) C
c) E
d) C
e) C

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