Calcule
e
ou
, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
;
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
em termos de e :
- As dependências de
e em relação a e :
O pedido é: calcular
e
de dois modos distintos:
- usando a regra da cadeia (isto é, via
e similar para ); - formando a função composta
e derivando diretamente (produto + regra da cadeia).
Observação: a função
exige
para estar no domínio real; isso não altera o procedimento de diferenciação, apenas lembra a restrição de domínio.
Passo 2
Explicando a regra da cadeia (em linguagem tranquila): se
e
, então a taxa de variação de
em relação a
é a soma das contribuições vindas da variação de
e da variação de
:
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo (ou seja, quanto
muda se só
muda), e
é a derivada de
em relação a
. O mesmo vale trocando
por
.
Passo 3
Aplicando ao caso: primeiro encontramos as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
pois
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante), usamos que
:
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Para isso usamos derivadas elementares de seno e cosseno:
Passo 5
Usando a regra da cadeia para
:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
:
Passo 6
Usando a regra da cadeia para
:
Substituindo
,
,
e
:
Colocando em forma fatorada:
Passo 7
Agora o segundo método: compor explicitamente
em função de
e
e derivar diretamente. A função composta é
Vamos derivar essa expressão por
e por
usando regra do produto e cadeia.
Passo 8
Derivando diretamente
(produto + cadeia):
primeiro fator , segundo fator
.
primeiro fator
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia,
onde foi usado
.
Aplicando produto:
Reescrevendo
como
(pois
):
que coincide com o resultado do método da cadeia.
Passo 9
Derivando diretamente
:
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : pela cadeia,
Aplicando produto:
Usando
:
que novamente coincide com o resultado obtido pelo primeiro método.
Passo 10
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Pode-se sempre aplicar a regra da cadeia com
e se souber etc.; é rápido e sistemático. - Fazer a composição
e derivar direto usa produto + cadeia, e é uma verificação útil: os dois métodos devem dar exatamente a mesma expressão. - Vale lembrar de olhar o domínio da
(aqui ) para garantir que a expressão faça sentido.