Calcule \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} ou \frac{\partial z}{\partial t}, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
z=x \ln y, x=\operatorname{sen} u+\cos v, y=\operatorname{sen} u-\cos v;

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função z em termos de x e y:
z = x \ln y.
  • As dependências de x e y em relação a u e v:
x = \sin u + \cos v,\qquad y = \sin u - \cos v.
O pedido é: calcular \dfrac{\partial z}{\partial u} e \dfrac{\partial z}{\partial v} de dois modos distintos:
  1. usando a regra da cadeia (isto é, via \dfrac{\partial z}{\partial u} = z_x x_u + z_y y_u e similar para v);
  2. formando a função composta z(u,v) = (\sin u + \cos v)\ln(\sin u - \cos v) e derivando diretamente (produto + regra da cadeia).
Observação: a função \ln(\cdot) exige \sin u-\cos v>0 para estar no domínio real; isso não altera o procedimento de diferenciação, apenas lembra a restrição de domínio.

Passo 2

Explicando a regra da cadeia (em linguagem tranquila): se z=f(x,y) e x=x(u,v),\,y=y(u,v), então a taxa de variação de z em relação a u é a soma das contribuições vindas da variação de x e da variação de y:
\frac{\partial z}{\partial u} = f_x(x,y)\,x_u(u,v) + f_y(x,y)\,y_u(u,v).
Aqui f_x significa a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo (ou seja, quanto z muda se só x muda), e x_u é a derivada de x em relação a u. O mesmo vale trocando u por v.

Passo 3

Aplicando ao caso: primeiro encontramos as derivadas parciais de f(x,y)=x\ln y em relação a x e a y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_x(x,y)=\ln y,
pois \dfrac{\partial}{\partial x}(x\ln y)=\ln y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante), usamos que \dfrac{d}{dy}\ln y = \dfrac{1}{y}:
f_y(x,y)=x\cdot\frac{1}{y}=\frac{x}{y}.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Para isso usamos derivadas elementares de seno e cosseno:
x=\sin u+\cos v \quad\Rightarrow\quad x_u=\cos u,\quad x_v=-\sin v.
y=\sin u-\cos v \quad\Rightarrow\quad y_u=\cos u,\quad y_v=+\sin v.

Passo 5

Usando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial u}:
\frac{\partial z}{\partial u}=f_x(x,y)\,x_u + f_y(x,y)\,y_u.
Substituindo f_x=\ln y, f_y=\dfrac{x}{y}, x_u=\cos u e y_u=\cos u:
\frac{\partial z}{\partial u}=\ln y\cdot\cos u + \frac{x}{y}\cdot\cos u.
Fatorando \cos u:
\frac{\partial z}{\partial u}=\cos u\!\left(\ln y + \frac{x}{y}\right).

Passo 6

Usando a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial v}:
\frac{\partial z}{\partial v}=f_x(x,y)\,x_v + f_y(x,y)\,y_v.
Substituindo f_x=\ln y, f_y=\dfrac{x}{y}, x_v=-\sin v e y_v=\sin v:
\frac{\partial z}{\partial v}=\ln y\cdot(-\sin v) + \frac{x}{y}\cdot\sin v.
Colocando em forma fatorada:
\frac{\partial z}{\partial v}=\sin v\!\left(\frac{x}{y}-\ln y\right).

Passo 7

Agora o segundo método: compor explicitamente z em função de u e v e derivar diretamente. A função composta é
z(u,v) = \big(\sin u + \cos v\big)\,\ln\big(\sin u - \cos v\big).
Vamos derivar essa expressão por u e por v usando regra do produto e cadeia.

Passo 8

Derivando diretamente \dfrac{\partial z}{\partial u} (produto + cadeia):
primeiro fator A(u,v)=\sin u+\cos v, segundo fator B(u,v)=\ln(\sin u-\cos v).
  • Derivada de A em relação a u: A_u=\cos u.
  • Derivada de B em relação a u: pela regra da cadeia,
B_u=\frac{1}{\sin u-\cos v}\cdot(\sin u-\cos v)_u=\frac{1}{y}\cdot\cos u = \frac{\cos u}{y},
onde foi usado y=\sin u-\cos v.
Aplicando produto:
\frac{\partial z}{\partial u}=A_u B + A B_u = \cos u\cdot\ln y + (\sin u+\cos v)\cdot\frac{\cos u}{y}.
Reescrevendo \sin u+\cos v como x (pois x=\sin u+\cos v):
\frac{\partial z}{\partial u}=\cos u\ln y + \frac{x\cos u}{y}=\cos u\!\left(\ln y+\frac{x}{y}\right),
que coincide com o resultado do método da cadeia.

Passo 9

Derivando diretamente \dfrac{\partial z}{\partial v}:
  • Derivada de A em relação a v: A_v=-\sin v.
  • Derivada de B em relação a v: pela cadeia,
B_v=\frac{1}{\sin u-\cos v}\cdot(\sin u-\cos v)_v=\frac{1}{y}\cdot(+\sin v)=\frac{\sin v}{y}.
Aplicando produto:
\frac{\partial z}{\partial v}=A_v B + A B_v = -\sin v\cdot\ln y + (\sin u+\cos v)\cdot\frac{\sin v}{y}.
Usando x=\sin u+\cos v:
\frac{\partial z}{\partial v}=-\sin v\ln y + \frac{x\sin v}{y}=\sin v\!\left(\frac{x}{y}-\ln y\right),
que novamente coincide com o resultado obtido pelo primeiro método.

Passo 10

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Pode-se sempre aplicar a regra da cadeia com z_x e z_y se souber \partial x/\partial u etc.; é rápido e sistemático.
  • Fazer a composição z(u,v) e derivar direto usa produto + cadeia, e é uma verificação útil: os dois métodos devem dar exatamente a mesma expressão.
  • Vale lembrar de olhar o domínio da \ln (aqui y>0) para garantir que a expressão faça sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=\cos u\!\left(\ln y+\frac{x}{y}\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=\sin v\!\left(\frac{x}{y}-\ln y\right)

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