Calcule
e
ou
, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
de dois modos: (A) usando a regra da cadeia com as derivadas parciais
e
; (B) encontrando a função composta
e diferenciando diretamente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
depende de e através de . -
e dependem de por e .
O objetivo é obterpor ambos os métodos e verificar que coincidem.
Passo 2
Reescrever
em função de
para simplificar a diferenciação. Note que
logo
Vamos calcular as derivadas parciais
e
. Usamos a regra da cadeia: se
e
, então
Calculemos cada fator:
- Primeiro,
. Aplicando a regra do produto e a derivada de obtemos
Explicando: derivada de
é
, e o fator
permanece.
- Em seguida,
, então
Agora multiplica-se:
Portanto temos as parciais explícitas em termos de
:
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia total para obter
:
Calcule
e
:
Substituindo
:
onde lembramos
. Esta é a expressão obtida pelo método da regra da cadeia.
Passo 4
Agora o método direto: compor
com
e derivar
. Primeiro escreva
Então
Para derivar
usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Calcule
:
Observe que
e
, logo
. Substituindo em
:
Portanto o resultado pelo método direto coincide com o resultado do passo anterior.
Passo 5
Podemos reescrever a resposta em termos de
substituindo
e
. Assim uma forma explícita em
é
Esse é equivalente à forma em
obtida antes.