Calcule \frac{\partial z}{\partial u} e \frac{\partial z}{\partial v} ou \frac{\partial z}{\partial t}, conforme for o caso, de dois modos: usando a regra da cadeia e encontrando a função composta e derivando diretamente.
z=\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=e^{t}, y=e^{-t};

Passo 1

O enunciado dá a função
z=(x^{2}+y^{2})\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad x=e^{t},\quad y=e^{-t},
e pede para calcular \dfrac{\partial z}{\partial t} de dois modos: (A) usando a regra da cadeia com as derivadas parciais z_x,z_y e \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}; (B) encontrando a função composta z(t) e diferenciando diretamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • z depende de x e y através de r:=x^{2}+y^{2}.
  • x e y dependem de t por x=e^{t} e y=e^{-t}.
    O objetivo é obter \dfrac{\partial z}{\partial t} por ambos os métodos e verificar que coincidem.

Passo 2

Reescrever z em função de r:=x^{2}+y^{2} para simplificar a diferenciação. Note que
\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\tfrac{1}{2}\ln r,
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z=\tfrac{1}{2}\,r\ln r.
Vamos calcular as derivadas parciais z_x e z_y. Usamos a regra da cadeia: se z=z(r) e r=r(x,y), então
z_x=\frac{dz}{dr}\cdot\frac{\partial r}{\partial x},\qquad z_y=\frac{dz}{dr}\cdot\frac{\partial r}{\partial y}.
Calculemos cada fator:
  • Primeiro, z(r)=\tfrac{1}{2}r\ln r. Aplicando a regra do produto e a derivada de \ln r obtemos
\frac{dz}{dr}=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln r + 1\bigr).
Explicando: derivada de r\ln r é \ln r + 1, e o fator \tfrac{1}{2} permanece.
  • Em seguida, r=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial r}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=2y.
Agora multiplica-se:
z_x=\tfrac{1}{2}(\ln r+1)\cdot 2x = x(\ln r+1),
z_y=\tfrac{1}{2}(\ln r+1)\cdot 2y = y(\ln r+1).
Portanto temos as parciais explícitas em termos de x,y:
z_x = x\bigl(\ln(x^{2}+y^{2})+1\bigr),\qquad z_y = y\bigl(\ln(x^{2}+y^{2})+1\bigr).

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia total para obter \dfrac{\partial z}{\partial t}:
\frac{dz}{dt}=z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}.
Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}=x,\qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}=-y.
Substituindo z_x,z_y,dx/dt,dy/dt:
\frac{dz}{dt} = x(\ln r+1)\cdot x \;+\; y(\ln r+1)\cdot(-y) = (\ln r+1)\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr),
onde lembramos r=x^{2}+y^{2}. Esta é a expressão obtida pelo método da regra da cadeia.

Passo 4

Agora o método direto: compor z com x(t),y(t) e derivar z(t). Primeiro escreva
r(t)=x(t)^{2}+y(t)^{2}=e^{2t}+e^{-2t}.
Então
z(t)=\tfrac{1}{2}\,r(t)\ln r(t).
Para derivar z(t) usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\tfrac{1}{2}\Bigl(r'(t)\ln r(t) + r(t)\cdot\frac{r'(t)}{r(t)}\Bigr) =\tfrac{1}{2}r'(t)\bigl(\ln r(t)+1\bigr).
Calcule r'(t):
r'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}+e^{-2t}\bigr)=2e^{2t}-2e^{-2t}=2\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr).
Observe que e^{2t}=x^{2} e e^{-2t}=y^{2}, logo r'(t)=2(x^{2}-y^{2}). Substituindo em dz/dt:
\frac{dz}{dt}=\tfrac{1}{2}\cdot 2(x^{2}-y^{2})\bigl(\ln r+1\bigr)=(\ln r+1)(x^{2}-y^{2}).
Portanto o resultado pelo método direto coincide com o resultado do passo anterior.

Passo 5

Podemos reescrever a resposta em termos de t substituindo r=e^{2t}+e^{-2t} e x^{2}-y^{2}=e^{2t}-e^{-2t}. Assim uma forma explícita em t é
\frac{dz}{dt}=\bigl(\ln(e^{2t}+e^{-2t})+1\bigr)\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr).
Esse é equivalente à forma em x,y obtida antes.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=\bigl(\ln(x^{2}+y^{2})+1\bigr)\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=\bigl(\ln(e^{2t}+e^{-2t})+1\bigr)\bigl(e^{2t}-e^{-2t}\bigr)

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