Ao lidar com derivadas parciais e diferentes variáveis independentes, é preciso cuidaddo para evitar confusão e não incorrer em erro! Por exemplo, em Dinâmica dos Fluidos, quando lidamos com grandezas qua variam com o tempo, esse cuidado é fundamental. Considere que
seja a densidade de massa fluida num ponto
. Além de depender das variáveis espaciais, a densidade também depende do tempo
A derivada
é a taxa de variação temporal da densidade em um ponto
fixado. No entanto, podemos imaginar
como função do tempo, representando a posição de uma partícula do fluido que se desloca com o passar do tempo. Nesta abordagem,
representa a densidade de massa associada a uma partícula móvel e não a um ponto fixo
. Essas abordagens são conhecidas por descrições Lagrangeanas e Eulerianas. A derivada
é chamada de derivada material e não deve ser confundida com
. Mostre que
onde
representa a velocidade da partícula. Em que situações físicas estas duas descrições são equivalentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Informação: a densidade do fluido é uma função do tempo e da posição espacial,
- Informação alternativa (seguindo uma partícula): a posição da partícula é função do tempo,
, e então a densidade sentida pela partícula é
- Pedido 1: Mostrar a relação entre a derivada material (derivada total acompanhando a partícula)
e a derivada parcial temporal , isto é, provar que
- Pedido 2: Explicar em que situações físicas as duas descrições (Euleriana:
em um ponto fixo; Lagrangeana: acompanhando uma partícula) são equivalentes.
Passo 2
Primeiro, entender o que cada derivada representa (intenções físicas):
-
é a taxa de variação da densidade no ponto espacial fixo quando se varia o tempo. Em outras palavras: o quanto a densidade muda em um posto fixo do espaço, se eu ficar parado ali observando. -
(derivada material) é a taxa de variação da densidade que uma partícula do fluido sente ao se mover — isto é, acompanhar a partícula e ver como a densidade associada a ela muda com o tempo. Essas duas taxas podem ser diferentes porque a partícula pode se deslocar para regiões onde a densidade é diferente.
É isso que vamos expressar matematicamente usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a densidade como função composta que depende do tempo e das trajetórias espaciais:
Agora aplicamos a regra da cadeia (derivada total) para a função
em relação ao tempo. Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de
e das derivadas das coordenadas espaciais em relação ao tempo.
Definimos as componentes da velocidade da partícula:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia (derivada total) passo a passo:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora escrevemos as parcelas espaciais usando o vetor velocidade e o gradiente:
- Definir o vetor velocidade
- Definir o gradiente de
A soma das três parcelas espaciais é exatamente o produto escalar (dot product) entre
e
:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada total obtemos a identidade desejada:
Interpretação física das parcelas:
-
: variação temporal local (o campo de densidade muda com o tempo no ponto fixo). -
: variação advectiva (ou convectiva) — mudança devido ao movimento da partícula através de regiões com diferentes valores espaciais de . Se a partícula se move na direção em que aumenta, esse termo é positivo e aumenta ; se se move na direção de decrescimento, o termo é negativo.
Um exemplo concreto e simples: imagine
como uma “concentração de corante” numa bacia. Se a concentração muda no tempo no mesmo ponto (uma torneira adicionando corante), isso é
. Se a partícula se move para uma região mais concentrada, ela “sente” aumento por causa de
.
Passo 7
Quando as duas descrições são equivalentes? Matematicamente, elas coincidem quando o termo convectivo é nulo:
Isto acontece em várias situações físicas possíveis (exemplos e interpretações):
- a) Fluido estacionário no espaço:
. Se as partículas não se movem relativamente ao referencial espacial, seguir a partícula é o mesmo que ficar no ponto fixo, logo
- b) Campo de densidade homogêneo:
. Se não varia no espaço (mesmo valor em toda região), então não importa para onde a partícula vá, ela não encontra variação espacial, logo
- c) Movimento ao longo de superfícies de nível de
: a velocidade é localmente ortogonal ao gradiente, isto é, a partícula se desloca ao longo de curvas/superfícies onde é constante. Nesse caso apesar de e .
Observação adicional: outras condições mais específicas também existem (por exemplo situações simétricas ou escolhas de referenciais), mas a regra simples e poderosa é: as descrições Euleriana e Lagrangeana são equivalentes precisamente quando a contribuição advectiva
é zero.
Resposta
As duas descrições são equivalentes quando