Ao lidar com derivadas parciais e diferentes variáveis independentes, é preciso cuidaddo para evitar confusão e não incorrer em erro! Por exemplo, em Dinâmica dos Fluidos, quando lidamos com grandezas qua variam com o tempo, esse cuidado é fundamental. Considere que \rho seja a densidade de massa fluida num ponto P=(x, y, z). Além de depender das variáveis espaciais, a densidade também depende do tempo
\rho=\rho(t, x, y, z)
A derivada \frac{\partial \rho}{\partial t} é a taxa de variação temporal da densidade em um ponto P fixado. No entanto, podemos imaginar P como função do tempo, representando a posição de uma partícula do fluido que se desloca com o passar do tempo. Nesta abordagem,
\rho=\rho(t, x(t), y(t), z(t))
representa a densidade de massa associada a uma partícula móvel e não a um ponto fixo P. Essas abordagens são conhecidas por descrições Lagrangeanas e Eulerianas. A derivada \frac{d \rho}{d t} é chamada de derivada material e não deve ser confundida com \frac{\partial \rho}{\partial t}. Mostre que
\frac{d \rho}{d t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec{v} \cdot \nabla \rho
onde \vec{v} representa a velocidade da partícula. Em que situações físicas estas duas descrições são equivalentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: a densidade do fluido é uma função do tempo e da posição espacial,
\rho=\rho(t,x,y,z).
  • Informação alternativa (seguindo uma partícula): a posição da partícula é função do tempo, (x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)), e então a densidade sentida pela partícula é
\rho=\rho\big(t,x(t),y(t),z(t)\big).
  • Pedido 1: Mostrar a relação entre a derivada material (derivada total acompanhando a partícula) \dfrac{d\rho}{dt} e a derivada parcial temporal \dfrac{\partial\rho}{\partial t}, isto é, provar que
\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec v\cdot\nabla\rho.
  • Pedido 2: Explicar em que situações físicas as duas descrições (Euleriana: \partial\rho/\partial t em um ponto fixo; Lagrangeana: d\rho/dt acompanhando uma partícula) são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, entender o que cada derivada representa (intenções físicas):
  • \dfrac{\partial\rho}{\partial t} é a taxa de variação da densidade no ponto espacial fixo (x,y,z) quando se varia o tempo. Em outras palavras: o quanto a densidade muda em um posto fixo do espaço, se eu ficar parado ali observando.
  • \dfrac{d\rho}{dt} (derivada material) é a taxa de variação da densidade que uma partícula do fluido sente ao se mover — isto é, acompanhar a partícula e ver como a densidade associada a ela muda com o tempo. Essas duas taxas podem ser diferentes porque a partícula pode se deslocar para regiões onde a densidade é diferente.
É isso que vamos expressar matematicamente usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a densidade como função composta que depende do tempo e das trajetórias espaciais:
\rho(t)=\rho\big(t,x(t),y(t),z(t)\big).
Agora aplicamos a regra da cadeia (derivada total) para a função \rho em relação ao tempo. Para aplicar a regra da cadeia precisamos das derivadas parciais de \rho e das derivadas das coordenadas espaciais em relação ao tempo.
Definimos as componentes da velocidade da partícula:
v_x(t)=\frac{dx}{dt},\qquad v_y(t)=\frac{dy}{dt},\qquad v_z(t)=\frac{dz}{dt}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia (derivada total) passo a passo:
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t}\,\frac{dt}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Como \dfrac{dt}{dt}=1, isso simplifica para
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial\rho}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 5

Agora escrevemos as parcelas espaciais usando o vetor velocidade e o gradiente:
  • Definir o vetor velocidade
\vec v = \big(v_x,v_y,v_z\big)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right).
  • Definir o gradiente de \rho
\nabla\rho=\left(\frac{\partial\rho}{\partial x},\frac{\partial\rho}{\partial y},\frac{\partial\rho}{\partial z}\right).
A soma das três parcelas espaciais é exatamente o produto escalar (dot product) entre \vec v e \nabla\rho:
\frac{\partial\rho}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial\rho}{\partial z}\,\frac{dz}{dt} = \vec v\cdot\nabla\rho.

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada total obtemos a identidade desejada:
\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec v\cdot\nabla\rho.
Interpretação física das parcelas:
  • \dfrac{\partial\rho}{\partial t}: variação temporal local (o campo de densidade muda com o tempo no ponto fixo).
  • \vec v\cdot\nabla\rho: variação advectiva (ou convectiva) — mudança devido ao movimento da partícula através de regiões com diferentes valores espaciais de \rho. Se a partícula se move na direção em que \rho aumenta, esse termo é positivo e aumenta d\rho/dt; se se move na direção de decrescimento, o termo é negativo.
Um exemplo concreto e simples: imagine \rho como uma “concentração de corante” numa bacia. Se a concentração muda no tempo no mesmo ponto (uma torneira adicionando corante), isso é \partial\rho/\partial t. Se a partícula se move para uma região mais concentrada, ela “sente” aumento por causa de \vec v\cdot\nabla\rho.

Passo 7

Quando as duas descrições são equivalentes? Matematicamente, elas coincidem quando o termo convectivo é nulo:
\vec v\cdot\nabla\rho = 0.
Isto acontece em várias situações físicas possíveis (exemplos e interpretações):
  • a) Fluido estacionário no espaço: \vec v=\vec 0. Se as partículas não se movem relativamente ao referencial espacial, seguir a partícula é o mesmo que ficar no ponto fixo, logo
\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}.
  • b) Campo de densidade homogêneo: \nabla\rho=\vec 0. Se \rho não varia no espaço (mesmo valor em toda região), então não importa para onde a partícula vá, ela não encontra variação espacial, logo
\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}.
  • c) Movimento ao longo de superfícies de nível de \rho: a velocidade é localmente ortogonal ao gradiente, isto é, a partícula se desloca ao longo de curvas/superfícies onde \rho é constante. Nesse caso \vec v\cdot\nabla\rho=0 apesar de \vec v\neq0 e \nabla\rho\neq0.
Observação adicional: outras condições mais específicas também existem (por exemplo situações simétricas ou escolhas de referenciais), mas a regra simples e poderosa é: as descrições Euleriana e Lagrangeana são equivalentes precisamente quando a contribuição advectiva \vec v\cdot\nabla\rho é zero.

Resposta

\displaystyle \frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec v\cdot\nabla\rho.
As duas descrições são equivalentes quando \vec v\cdot\nabla\rho=0, por exemplo: (i) \vec v=\vec 0 (fluido estacionário), (ii) \nabla\rho=\vec 0 (densidade espacialmente uniforme), ou (iii) o movimento ocorre ao longo de superfícies de nível de \rho (velocidade ortogonal ao gradiente).

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