Compare a forma como introduzimmos o plano tangente para gráficos de funções de duas variáveis e o plano tangente para superfícies de nível. Mostre que a definição para superfícies de nível engloba a definição para funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu compare duas maneiras de definir o plano tangente: (i) a definição usada quando a superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis
e (ii) a definição usada quando a superfície é uma superfície de nível de uma função de três variáveis
. Preciso mostrar que a definição de superfície de nível engloba (ou reproduz) a definição do gráfico de
.
Informações dadas (ou que vou usar):
- Há uma função
de duas variáveis, suficientemente diferenciável, e o seu gráfico é a superfície . - Há a definição padrão de plano tangente ao gráfico de
via linearização (aproximação afim por derivadas parciais). - Há a definição padrão de plano tangente a uma superfície de nível
usando o gradiente como vetor normal, e a equação . - A tarefa: mostrar explicitamente que, ao representar o gráfico de
como superfície de nível de uma função apropriada, a equação do plano tangente obtida pela definição de superfície de nível coincide com a equação obtida pela linearização do gráfico.
Passo 2
Relembrando a definição do plano tangente ao gráfico de
(via linearização) e explicando os símbolos.
Se
é diferenciável em
, então a linearização (aproximação afim) de
perto de
é a função afim
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto ; mede a inclinação na direção . -
é a derivada parcial de em relação a no ponto ; mede a inclinação na direção .
Geometricamente, o plano tangente ao gráfico deno ponto é o conjunto de pontos com
Ou seja, a equação do plano tangente pelo método do gráfico é
Passo 3
Relembrando a definição do plano tangente a uma superfície de nível e explicando o gradiente.
Se
é diferenciável e
é a superfície de nível
, então o vetor gradiente
é perpendicular (normal) à superfície de nível em cada ponto regular (ponto onde
). A equação do plano tangente em um ponto
é então
ou explicitamente,
Aqui
são as derivadas parciais de
. A ideia: o plano tangente é todo vetor no espaço que é ortogonal ao gradiente (o normal) no ponto.
Passo 4
Mostrar como representar o gráfico de
como superfície de nível.
Considere a função
definida por
O conjunto de pontos onde
é exatamente
que é o gráfico de
. Assim o gráfico de
é uma superfície de nível de
com
. O ponto
pertence a essa superfície de nível.
Passo 5
Calcular o gradiente de
e aplicar a fórmula do plano tangente por nível.
Calcule as derivadas parciais de
. Como
, obtemos
Em particular, no ponto
com
temos
Usando a fórmula da superfície de nível,
Rearranjando para
(lembrando que
) dá
ou seja,
Essa é exatamente a mesma equação que obtivemos pelo método da linearização do gráfico.
Passo 6
Discussão sobre hipóteses e recíproca (observações úteis para a prova).
- Hipóteses: para seguir os passos acima foi necessário que
seja diferenciável em . Então também é diferenciável e existe. Note que , portanto jamais é o vetor nulo; isso garante que o ponto é regular (não singular) e que a equação da superfície de nível realmente produz um plano tangente bem definido. Assim, sempre que for diferenciável, a construção via funciona sem problemas. - Recíproca (breve comentário): se uma superfície de nível
satisfaz , então, pelo Teorema da Função Implícita, localmente a superfície pode ser escrita como o gráfico de uma função . Nesse caso a fórmula do plano tangente via coincide com a linearização dessa . Logo as duas definições são equivalentes sempre que as hipóteses de diferenciabilidade/reguralidade forem satisfeitas.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (concreto e simples).
Tome
e o ponto
. Então
.
- Derivadas parciais:
, . No ponto: , . - Plano pela linearização:
- Com
temos e no ponto é . A equação do plano pela superfície de nível dá
que, rearranjando, fornece exatamente
Portanto, as duas abordagens coincidem neste exemplo concreto, como mostrado de forma geral acima.
Resposta
Tomando
, o gráfico de
é a superfície de nível
e o gradiente é
. Da condição
segue
que é exatamente a equação do plano tangente obtida pela linearização do gráfico de
. Assim, a definição de plano tangente para superfícies de nível engloba a definição para gráficos de funções de duas variáveis.