Compare a forma como introduzimmos o plano tangente para gráficos de funções de duas variáveis e o plano tangente para superfícies de nível. Mostre que a definição para superfícies de nível engloba a definição para funções de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede que eu compare duas maneiras de definir o plano tangente: (i) a definição usada quando a superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) e (ii) a definição usada quando a superfície é uma superfície de nível de uma função de três variáveis G(x,y,z). Preciso mostrar que a definição de superfície de nível engloba (ou reproduz) a definição do gráfico de f.
Informações dadas (ou que vou usar):
  • Há uma função f de duas variáveis, suficientemente diferenciável, e o seu gráfico é a superfície \{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}.
  • Há a definição padrão de plano tangente ao gráfico de f via linearização (aproximação afim por derivadas parciais).
  • Há a definição padrão de plano tangente a uma superfície de nível \{(x,y,z)\mid G(x,y,z)=c\} usando o gradiente \nabla G como vetor normal, e a equação \nabla G(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
  • A tarefa: mostrar explicitamente que, ao representar o gráfico de f como superfície de nível de uma função G apropriada, a equação do plano tangente obtida pela definição de superfície de nível coincide com a equação obtida pela linearização do gráfico.

Passo 2

Relembrando a definição do plano tangente ao gráfico de f (via linearização) e explicando os símbolos.
Se f é diferenciável em (x_0,y_0), então a linearização (aproximação afim) de f perto de (x_0,y_0) é a função afim
L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • f_x(x_0,y_0) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_0,y_0); mede a inclinação na direção x.
  • f_y(x_0,y_0) é a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x_0,y_0); mede a inclinação na direção y.
    Geometricamente, o plano tangente ao gráfico de f no ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é o conjunto de pontos (x,y,z) com
z = L(x,y).
Ou seja, a equação do plano tangente pelo método do gráfico é
z = f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).

Passo 3

Relembrando a definição do plano tangente a uma superfície de nível e explicando o gradiente.
Se G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é diferenciável e S é a superfície de nível S=\{(x,y,z)\mid G(x,y,z)=c\}, então o vetor gradiente
\nabla G(x,y,z)=\bigg(\frac{\partial G}{\partial x},\frac{\partial G}{\partial y},\frac{\partial G}{\partial z}\bigg)
é perpendicular (normal) à superfície de nível em cada ponto regular (ponto onde \nabla G\neq(0,0,0)). A equação do plano tangente em um ponto (x_0,y_0,z_0)\in S é então
\nabla G(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0,
ou explicitamente,
G_x(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0)+G_y(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0)+G_z(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
Aqui G_x,G_y,G_z são as derivadas parciais de G. A ideia: o plano tangente é todo vetor no espaço que é ortogonal ao gradiente (o normal) no ponto.

Passo 4

Mostrar como representar o gráfico de f como superfície de nível.
Considere a função G:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
G(x,y,z)=f(x,y)-z.
O conjunto de pontos onde G(x,y,z)=0 é exatamente
\{(x,y,z)\mid f(x,y)-z=0\}=\{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\},
que é o gráfico de f. Assim o gráfico de f é uma superfície de nível de G com c=0. O ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) pertence a essa superfície de nível.

Passo 5

Calcular o gradiente de G e aplicar a fórmula do plano tangente por nível.
Calcule as derivadas parciais de G. Como G(x,y,z)=f(x,y)-z, obtemos
G_x(x,y,z)=f_x(x,y),\qquad G_y(x,y,z)=f_y(x,y),\qquad G_z(x,y,z)=-1.
Em particular, no ponto (x_0,y_0,z_0) com z_0=f(x_0,y_0) temos
\nabla G(x_0,y_0,z_0)=\bigl(f_x(x_0,y_0),\;f_y(x_0,y_0),\;-1\bigr).
Usando a fórmula da superfície de nível,
f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)-1\cdot(z-z_0)=0.
Rearranjando para z (lembrando que z_0=f(x_0,y_0)) dá
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
ou seja,
z = f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Essa é exatamente a mesma equação que obtivemos pelo método da linearização do gráfico.

Passo 6

Discussão sobre hipóteses e recíproca (observações úteis para a prova).
  • Hipóteses: para seguir os passos acima foi necessário que f seja diferenciável em (x_0,y_0). Então G também é diferenciável e \nabla G existe. Note que G_z=-1, portanto \nabla G jamais é o vetor nulo; isso garante que o ponto é regular (não singular) e que a equação da superfície de nível realmente produz um plano tangente bem definido. Assim, sempre que f for diferenciável, a construção via G=f-z funciona sem problemas.
  • Recíproca (breve comentário): se uma superfície de nível G(x,y,z)=c satisfaz G_z(x_0,y_0,z_0)\neq0, então, pelo Teorema da Função Implícita, localmente a superfície pode ser escrita como o gráfico de uma função z=f(x,y). Nesse caso a fórmula do plano tangente via \nabla G coincide com a linearização dessa f. Logo as duas definições são equivalentes sempre que as hipóteses de diferenciabilidade/reguralidade forem satisfeitas.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (concreto e simples).
Tome f(x,y)=x^2+y^2 e o ponto (x_0,y_0)=(1,1). Então z_0=f(1,1)=2.
  • Derivadas parciais: f_x(x,y)=2x, f_y(x,y)=2y. No ponto: f_x(1,1)=2, f_y(1,1)=2.
  • Plano pela linearização:
z = 2 + 2\,(x-1)+2\,(y-1).
  • Com G(x,y,z)=f(x,y)-z temos \nabla G=(2x,2y,-1) e no ponto (1,1,2) é (2,2,-1). A equação do plano pela superfície de nível dá
2\,(x-1)+2\,(y-1)-1\,(z-2)=0,
que, rearranjando, fornece exatamente
z = 2 + 2\,(x-1)+2\,(y-1).
Portanto, as duas abordagens coincidem neste exemplo concreto, como mostrado de forma geral acima.

Resposta

Tomando G(x,y,z)=f(x,y)-z, o gráfico de f é a superfície de nível G=0 e o gradiente é \nabla G=(f_x,f_y,-1). Da condição \nabla G\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0 segue
z = f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
que é exatamente a equação do plano tangente obtida pela linearização do gráfico de f. Assim, a definição de plano tangente para superfícies de nível engloba a definição para gráficos de funções de duas variáveis.

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