Calcule
usando a diferenciação implícita.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
e
usando diferenciação implícita, sendo dada a relação
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Temos uma equação que relaciona
, e . - Devemos tratar
como função implícita de e : . - Queremos as derivadas parciais
e .
Passo 2
Primeiro, simplifico mentalmente a equação para entender melhor o que está acontecendo. Elevando ambos os lados à potência
(apenas para ver a forma), obtemos
ou seja, a relação é a da esfera unitária. Isso confirma que
é positivo e que a expressão original não anula o fator que aparece na diferenciação. Ainda assim, na hora de isolar
ou
vamos encontrar
no denominador, então teremos de cuidar do caso
depois.
Passo 3
Agora vou diferenciar implicitamente em relação a
. Vou usar a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui
. E
, pois
é tratado como constante e
depende de
.
Aplicando isso à equação original:
Pelo que foi dito,
Passo 4
Simplifico a expressão obtida. Primeiro fator
do parêntese e o
se combinam:
ou seja
Como
(pela própria equação vale 1), e
, podemos dividir por esses fatores e ficar com
Passo 5
Isolando
da última equação:
portanto
Esse é o resultado para
. Note que aqui usamos que
para poder dividir por
. Se
(pontos do “equador” da esfera), a expressão não é válida porque ali não podemos escrever
localmente como função diferenciável de
que permita essa divisão.
Passo 6
Agora faço exatamente o mesmo procedimento, mas diferenciando em relação a
. Repetindo a regra da cadeia:
implica
Simplificando como antes:
logo
Passo 7
Isolando
:
portanto
Novamente, essa fórmula exige
para que a divisão faça sentido. Alternativamente, se quisermos usar a forma explícita
, poderíamos derivar e obter o mesmo resultado (com sinal de
reproduzido automaticamente).