Calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} usando a diferenciação implícita.
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} usando diferenciação implícita, sendo dada a relação
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. Temos uma equação que relaciona x, y e z.
  2. Devemos tratar z como função implícita de x e y: z=z(x,y).
  3. Queremos as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Primeiro, simplifico mentalmente a equação para entender melhor o que está acontecendo. Elevando ambos os lados à potência \frac{2}{3} (apenas para ver a forma), obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
ou seja, a relação é a da esfera unitária. Isso confirma que x^{2}+y^{2}+z^{2} é positivo e que a expressão original não anula o fator que aparece na diferenciação. Ainda assim, na hora de isolar \dfrac{\partial z}{\partial x} ou \dfrac{\partial z}{\partial y} vamos encontrar z no denominador, então teremos de cuidar do caso z=0 depois.

Passo 3

Agora vou diferenciar implicitamente em relação a x. Vou usar a regra da cadeia: se G(u)=u^{\frac{3}{2}} com u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{d}{dx}G(u)=G'(u)\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui G'(u)=\frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}. E \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}, pois y é tratado como constante e z depende de x.
Aplicando isso à equação original:
\frac{d}{dx}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=0.
Pelo que foi dito,
\frac{3}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}\right)=0.

Passo 4

Simplifico a expressão obtida. Primeiro fator 2 do parêntese e o \frac{3}{2} se combinam:
\frac{3}{2}\cdot 2 \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(x+z\frac{\partial z}{\partial x}\right)=0,
ou seja
3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(x+z\frac{\partial z}{\partial x}\right)=0.
Como \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}>0 (pela própria equação vale 1), e 3\neq0, podemos dividir por esses fatores e ficar com
x+z\frac{\partial z}{\partial x}=0.

Passo 5

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x} da última equação:
z\frac{\partial z}{\partial x}=-x
portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}.
Esse é o resultado para \dfrac{\partial z}{\partial x}. Note que aqui usamos que z\neq 0 para poder dividir por z. Se z=0 (pontos do “equador” da esfera), a expressão não é válida porque ali não podemos escrever z localmente como função diferenciável de x,y que permita essa divisão.

Passo 6

Agora faço exatamente o mesmo procedimento, mas diferenciando em relação a y. Repetindo a regra da cadeia:
\frac{d}{dy}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=0
implica
\frac{3}{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(2y+2z\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0.
Simplificando como antes:
3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(y+z\frac{\partial z}{\partial y}\right)=0,
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y+z\frac{\partial z}{\partial y}=0.

Passo 7

Isolando \dfrac{\partial z}{\partial y}:
z\frac{\partial z}{\partial y}=-y
portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}.
Novamente, essa fórmula exige z\neq0 para que a divisão faça sentido. Alternativamente, se quisermos usar a forma explícita z=\pm\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, poderíamos derivar e obter o mesmo resultado (com sinal de z reproduzido automaticamente).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z} (válido para z\neq0)

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