Determine as diagonais de um losango, sabendo que sua área é
e que a diagonal menor e’ metade da diagonal maior.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Área do losango:
. - A diagonal menor é metade da diagonal maior: se chamarmos a maior de
e a menor de , então .
O que se pede: determinar os comprimentos das duas diagonaise .
Passo 2
Vamos definir as variáveis de forma explícita e simples:
-
= comprimento da diagonal maior (em ). -
= comprimento da diagonal menor (em ).
E já temos a relaçãodada pelo enunciado.
Passo 3
Aqui está a fórmula importante que usamos para a área do losango. Vou explicar de onde ela vem de modo bem prático. Quando as duas diagonais de um losango se cruzam, elas se intersectam em ângulo reto e cada diagonal é dividida ao meio. Assim o losango é composto por 4 triângulos retângulos congruentes. A área de cada triângulo é metade do produto dos catetos (metades das diagonais), isto é
. Multiplicando por 4 triângulos, a área total fica:
Nesta fórmula,
é a área do losango,
e
são as diagonais.
Passo 4
Agora substituímos na fórmula a relação entre
e
. Temos
, então:
Simplificando a expressão do lado direito, obtemos:
Passo 5
A partir de
isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
:
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos falando de comprimento):
Passo 6
Agora substituímos o valor numérico de
. Como
,
Sabemos que
, portanto
Passo 7
Encontrada a diagonal maior, a diagonal menor é metade dela segundo o enunciado:
Fazemos uma verificação rápida do resultado no enunciado:
, que é exatamente a área dada. Está consistente.