Determine as diagonais de um losango, sabendo que sua área é 256 \mathrm{~cm}^{2} e que a diagonal menor e’ metade da diagonal maior.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Área do losango: \,A=256\\ \mathrm{cm}^2.
  • A diagonal menor é metade da diagonal maior: se chamarmos a maior de \,D e a menor de \,d, então \,d=\tfrac{D}{2}.
    O que se pede: determinar os comprimentos das duas diagonais D e d.

Passo 2

Vamos definir as variáveis de forma explícita e simples:
  • D = comprimento da diagonal maior (em \mathrm{cm}).
  • d = comprimento da diagonal menor (em \mathrm{cm}).
    E já temos a relação \,d=\tfrac{D}{2} dada pelo enunciado.

Passo 3

Aqui está a fórmula importante que usamos para a área do losango. Vou explicar de onde ela vem de modo bem prático. Quando as duas diagonais de um losango se cruzam, elas se intersectam em ângulo reto e cada diagonal é dividida ao meio. Assim o losango é composto por 4 triângulos retângulos congruentes. A área de cada triângulo é metade do produto dos catetos (metades das diagonais), isto é \tfrac{1}{2}\cdot\frac{D}{2}\cdot\frac{d}{2}. Multiplicando por 4 triângulos, a área total fica:
A=\frac{D\,d}{2}.
Nesta fórmula, A é a área do losango, D e d são as diagonais.

Passo 4

Agora substituímos na fórmula a relação entre d e D. Temos \,d=\tfrac{D}{2}, então:
A=\frac{D\cdot d}{2}=\frac{D\cdot\left(\tfrac{D}{2}\right)}{2}.
Simplificando a expressão do lado direito, obtemos:
A=\frac{D^2}{4}.

Passo 5

A partir de \,A=\tfrac{D^2}{4} isolamos D. Multiplicando ambos os lados por 4:
4A=D^2.
Tirando raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos falando de comprimento):
D=2\sqrt{A}.

Passo 6

Agora substituímos o valor numérico de A. Como \,A=256\\ \mathrm{cm}^2,
D=2\sqrt{256}.
Sabemos que \sqrt{256}=16, portanto
D=2\cdot 16=32\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Encontrada a diagonal maior, a diagonal menor é metade dela segundo o enunciado:
d=\frac{D}{2}=\frac{32}{2}=16\\ \mathrm{cm}.
Fazemos uma verificação rápida do resultado no enunciado: \dfrac{D\,d}{2}=\dfrac{32\cdot 16}{2}=\dfrac{512}{2}=256\\ \mathrm{cm}^2, que é exatamente a área dada. Está consistente.

Resposta

D=32\\ \mathrm{cm}
d=16\\ \mathrm{cm}

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