Encontre \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z} para a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
As variáveis explícitas na função são x e y; não há dependência explícita de z no enunciado. A resolução começa a partir dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilita derivar:
f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Aqui é útil lembrar duas regras básicas de diferenciação que vamos usar:
  1. Regra da potência (para funções de uma variável): se g(u)=u^{\alpha}, então g'(u)=\alpha u^{\alpha-1}. No nosso caso \alpha=\tfrac{1}{2}.
  2. Regra da cadeia (quando temos uma função composta): se g(u) e u=h(x), então \dfrac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
    Vamos aplicar essas regras tomando u(x,y)=x^{2}+y^{2} e f(u)=u^{1/2}.

Passo 3

Calculando \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  1. Identificamos u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então f(x,y)=u^{1/2}.
  2. Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)\Big|_{u=x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}).
  1. Calculamos cada fator:
  • Pela regra da potência,
\frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{u}}.
  • E
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
pois y é tratado como constante ao derivar parcial em x.
  1. Multiplicando:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Observação importante: nessa expressão o denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}} não pode ser zero. Logo a fórmula vale para todos os pontos com (x,y)\neq(0,0). Ainda vamos tratar o caso (0,0) mais adiante.

Passo 4

Calculando \dfrac{\partial f}{\partial y} da mesma forma (simetria entre x e y).
  1. Usando u(x,y)=x^{2}+y^{2} e a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)\Big|_{u=x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}).
  1. Já sabemos \dfrac{d}{du}(u^{1/2})=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}. E
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y,
pois x é tratado como constante ao derivar parcial em y.
  1. Multiplicando:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Novamente esta fórmula vale para (x,y)\neq(0,0) por causa do denominador.

Passo 5

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Como a função dada não depende de z (ou seja, f é constante em relação a z quando x e y são mantidos fixos), a derivada parcial em relação a z é zero. Formalmente, pela definição de derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial z} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}.
Mas f(x,y,z+h)=f(x,y) e f(x,y,z)=f(x,y), então o numerador é 0 para todo h, logo o limite vale 0. Assim
\frac{\partial f}{\partial z}=0
para todos os pontos (não existe dependência de z).

Passo 6

Trato especial do ponto [(0,0)).
As expressões que obtivemos em \#Passo 3 e \#Passo 4 têm denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é zero em (0,0). Precisamos verificar se as derivadas parciais em (0,0) existem usando a definição limite.
Considere \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Aqui f(h,0)=\sqrt{h^{2}}=|h| e f(0,0)=0. Então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}1,& h>0,\\\\ -1,& h<0.\end{cases}
Esse limite lateral à direita é 1\] e à esquerda é \(-1, portanto o limite total não existe. Logo \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) não existe.
O mesmo raciocínio vale para \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) (troca x por y), mostrando que \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) também não existe.
Para \dfrac{\partial f}{\partial z} não há problema: é sempre 0, inclusive quando (x,y)=(0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} para (x,y)\neq(0,0); não existe em (0,0).\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} para (x,y)\neq(0,0); não existe em (0,0).\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=0 para todos os pontos (a função não depende de z).

Exercícios relacionados