Encontre \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.
f(x, y)=\operatorname{sen}^{2}(x-3 y)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três derivadas parciais. Listei abaixo o que foi fornecido e o que é pedido:
f(x,y)=\operatorname{sen}^{2}(x-3y).
Perguntas do enunciado:
  1. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  2. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  3. Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função está escrita em termos de x e y através da expressão x-3y.
  • Não há nenhum z na expressão dada (ou seja, f aparentemente não depende de z).
    Nada mais será assumido; agora partimos para calcular as derivadas.

Passo 2

Conceito que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
Se temos uma função composta do tipo f(x,y)=g(u(x,y)), onde u(x,y) é uma função de x e y e g é uma função de uma única variável, então a derivada parcial de f em relação a x é dada por
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{dg}{du}\bigg|_{u=u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Isto significa: primeiro derivamos a função externa g em relação à sua variável u (como se u fosse a única variável), e depois multiplicamos pelo derivado parcial da função interna u(x,y) em relação a x. O mesmo vale para \partial f/\partial y, trocando x por y.
Aplicação ao caso concreto: aqui g(u)=\operatorname{sen}^2(u) com u=x-3y. Antes de aplicar a regra da cadeia, calculemos \dfrac{dg}{du}.

Passo 3

Derivada da função externa g(u)=\operatorname{sen}^2(u) em relação a u.
Podemos ver \operatorname{sen}^2(u) como (\operatorname{sen}u)^2. Usando a regra da cadeia para uma função quadrada h(v)=v^2 com v=\operatorname{sen}u, temos
\frac{dg}{du} = 2\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{d}{du}\big(\operatorname{sen}u\big).
E sabemos que \dfrac{d}{du}\big(\operatorname{sen}u\big)=\operatorname{cos}u. Então
\frac{dg}{du}=2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u).
Observação útil (identidade trigonométrica) que às vezes simplifica as expressões:
2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u)=\operatorname{sen}(2u).
Ambas as formas são equivalentes; usarei as duas quando for conveniente.

Passo 4

Definimos a função interna explicitamente:
u(x,y)=x-3y.
Agora calculamos as derivadas parciais de u em relação a x, y e z:
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, porque derivando x em relação a x 1 e o termo -3y é tratado como constante.
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3, porque derivando -3y em relação a y -3 e x é tratado como constante.
  • \dfrac{\partial u}{\partial z}=0, porque u não depende de z.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando \dfrac{dg}{du}=2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = 2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u)\cdot 1.
Substituindo u=x-3y,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2\operatorname{sen}(x-3y)\operatorname{cos}(x-3y).
Podemos também escrever essa resposta de forma mais compacta usando a identidade trigonométrica:
\frac{\partial f}{\partial x} = \operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big).
Ambas as formas estão corretas; a forma com \operatorname{sen}(2(\cdot)) é apenas mais curta.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}. Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{dg}{du}\bigg|_{u=x-3y}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Usando \dfrac{dg}{du}=2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u) e \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3, temos
\frac{\partial f}{\partial y} = 2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u)\cdot(-3) = -6\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u).
Substituindo u=x-3y,
\frac{\partial f}{\partial y} = -6\operatorname{sen}(x-3y)\operatorname{cos}(x-3y).
Usando a identidade \operatorname{sen}(2u)=2\operatorname{sen}u\operatorname{cos}u, podemos simplificar:
-6\operatorname{sen}(x-3y)\operatorname{cos}(x-3y) = -3\operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big).
Ambas as formas são válidas; a forma reduzida é -3\operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big).

Passo 7

Finalmente, \dfrac{\partial f}{\partial z}. Como \,f não contém z em sua expressão (ver Passo 1 e Passo 4), ao derivar em relação a z tratamos x e y como constantes e obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=0.
Isto é uma consequência geral: se uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=2\operatorname{sen}(x-3y)\operatorname{cos}(x-3y)=\operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-6\operatorname{sen}(x-3y)\operatorname{cos}(x-3y)=-3\operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big)
\dfrac{\partial f}{\partial z}=0

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