O enunciado dá a função f e pede três derivadas parciais. Listei abaixo o que foi fornecido e o que é pedido:
f(x,y)=\operatorname{sen}^{2}(x-3y).
Perguntas do enunciado:
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A função está escrita em termos de x e y através da expressão x-3y.
Não há nenhum z na expressão dada (ou seja, f aparentemente não depende de z).
Nada mais será assumido; agora partimos para calcular as derivadas.
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
Se temos uma função composta do tipo f(x,y)=g(u(x,y)), onde u(x,y) é uma função de x e y e g é uma função de uma única variável, então a derivada parcial de f em relação a x é dada por
Isto significa: primeiro derivamos a função externa g em relação à sua variável u (como se u fosse a única variável), e depois multiplicamos pelo derivado parcial da função interna u(x,y) em relação a x. O mesmo vale para \partial f/\partial y, trocando x por y.
Aplicação ao caso concreto: aqui g(u)=\operatorname{sen}^2(u) com u=x-3y. Antes de aplicar a regra da cadeia, calculemos \dfrac{dg}{du}.
Passo 3
Derivada da função externa g(u)=\operatorname{sen}^2(u) em relação a u.
Podemos ver \operatorname{sen}^2(u) como (\operatorname{sen}u)^2. Usando a regra da cadeia para uma função quadrada h(v)=v^2 com v=\operatorname{sen}u, temos
Ambas as formas são equivalentes; usarei as duas quando for conveniente.
Passo 4
Definimos a função interna explicitamente:
u(x,y)=x-3y.
Agora calculamos as derivadas parciais de u em relação a x, y e z:
\dfrac{\partial u}{\partial x}=1, porque derivando x em relação a x dá 1 e o termo -3y é tratado como constante.
\dfrac{\partial u}{\partial y}=-3, porque derivando -3y em relação a y dá -3 e x é tratado como constante.
\dfrac{\partial u}{\partial z}=0, porque u não depende de z.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando \dfrac{dg}{du}=2\operatorname{sen}(u)\operatorname{cos}(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, obtemos
Ambas as formas são válidas; a forma reduzida é -3\operatorname{sen}\big(2(x-3y)\big).
Passo 7
Finalmente, \dfrac{\partial f}{\partial z}. Como \,f não contém z em sua expressão (ver Passo 1 e Passo 4), ao derivar em relação a z tratamos x e y como constantes e obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=0.
Isto é uma consequência geral: se uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero.