Calcule \frac{d G(x)}{d x} sendo G(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{7}{1+t^{4}} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de G(x) em relação a x, onde
G(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{7}{1+t^{4}}\,dt.
Informações dadas:
\;1 o integrando é \dfrac{7}{1+t^{4}}.
\;2 o limite inferior de integração é a constante 1.
\;3 o limite superior de integração é a função x^{2}, que depende de x.
A tarefa é encontrar \dfrac{dG(x)}{dx}.

Passo 2

Conceito necessário (explicado passo a passo): se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior dependente de x,
H(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia, a derivada é
H'(x)=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicação intuitiva: a função H pode ser vista como composição H(x)=F(u(x)), onde
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F'(u)=f(u). Aplicando a regra da cadeia para F(u(x)) obtemos H'(x)=F'(u(x))\cdot u'(x)=f(u(x))u'(x). Aqui u'(x) é a derivada do limite superior em relação a x.

Passo 3

Identificando no problema:
f(t)=\frac{7}{1+t^{4}},\qquad u(x)=x^{2}.
Agora calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 2:
\frac{dG(x)}{dx}=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = \frac{7}{1+\big(u(x)\big)^{4}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2} e u'(x)=2x:
\frac{dG(x)}{dx}= \frac{7}{1+(x^{2})^{4}}\cdot 2x.
Simplificando a potência (x^{2})^{4}=x^{8} e o produto:
\frac{dG(x)}{dx}=\frac{14x}{1+x^{8}}.
Observação rápida: essa expressão vale para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\dfrac{14x}{1+x^{8}}

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