Esboce o gráfico da função F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t onde: f(t)=\left\{\begin{aligned}-1, & \text { se }-1 \leq t \leq 1 \\\ t, & \text { se } t>1\end{aligned}\right., com)a=-1$
Para cada função a seguir, esboce o gráfico e calcule a sua Transformada de Laplace, explicitando a região de convergência:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, esboçar o gráfico de F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x} f(t)\,dt\) onde
\[f(t)=\begin{cases} -1, & \text{se } -1\le t\le 1,\\[4pt] t, & \text{se } t>1, \end{cases} \quad\text{e}\quad a=-1.
Segundo, para cada função (não especificada no enunciado) esboçar o gráfico e calcular a Transformada de Laplace, com a região de convergência. Informações dadas relevantes:
A função f\] está definida para todo \(t\ge -1 (pois o enunciado dá valores em [-1,1] e para t>1); não há definição para t<-1.
O ponto inicial da integral é a=-1.
Precisamos obter o esboço de F e uma expressão explícita de F(x) por intervalos, além da análise de continuidade/diferenciabilidade.]
Passo 2
Determinar o domínio de F. Para a integral \displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\,dt estar bem definida é preciso que f esteja definida em todo o intervalo entre -1 e x. Como f está definida em todos os t\ge -1, concluímos que F(x) só está definida para
x\ge -1.
Portanto não existe F(x) para x<-1 com a função f dada. Vou trabalhar apenas com x\ge -1.
Passo 3
Lembrando um conceito fundamental (pequena aula): o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se f é integrável em [a,b] e contínua em um ponto x interior, então a função
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável naquele ponto e F'(x)=f(x). Aqui f tem um possível salto em t=1 (veremos isso), então F'(x)=f(x) para todo x\in(-1,1) e para todo x>1; no ponto x=1 a derivada pode não existir pela descontinuidade de f em 1.
Passo 4
Calcular F(x) para x com -1\le x\le 1. Nesse intervalo vale f(t)=-1. Então
Resumo da expressão de F(x)\) por intervalos (repetindo e organizando):
\[F(x)=\begin{cases} \text{não definida}, & x<-1,\\[4pt] -(x+1), & -1\le x\le 1,\\[4pt] \tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{5}{2}, & x>1. \end{cases}
Observações importantes (didática sobre continuidade e derivadas):
Continuidade em x=1\]: calcular limite à esquerda e à direita. À esquerda \(F(1^-)=-(1+1)=-2. À direita F(1^+)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{2}=-2. Logo F é contínua em 1.
Derivada em x=1: F'(x)=f(x) onde f for contínua. Temos F'(1^-)=f(1^-)= -1 e F'(1^+)=f(1^+)=1. Como as derivadas laterais são diferentes, F' não existe em x=1. Geometricamente, F tem um canto/ângulo em x=1 (mínimo local).
Comportamento monotônico: para -1<x<1, F'(x)=-1<0 então F é decrescente; para x>1, F'(x)=x>0 então F é crescente. Assim x=1 é o ponto de mínimo absoluto (dentro do domínio x\ge-1), com valor F(1)=-2.]
Passo 7
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova, sem cálculo extra):
Marque o domínio: só para x\ge -1.
Pontos importantes: F(-1)=0, F(1)=-2.
No intervalo [-1,1] trace uma reta com equação F(x)=-(x+1): é uma reta de inclinação -1 unindo (-1,0) a (1,-2).
Para x>1 trace a parábola F(x)=\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{5}{2}. Essa parábola passa por (1,-2) e abre para cima; como F'(1^+)=1 a inclinação à direita de 1 é positiva (logo a curva sobe após o ponto x=1).
Não desenhe nada para x<-1 (função não existe ali).
Indique no ponto x=1 que há continuidade (os dois ramos se encontram) mas que a derivada tem salto (canto): desenhe claramente a mudança de inclinação.
Passo 8
Pequeno exemplo para treinar (didática): se na prova você tivesse g(t)=\begin{cases}2,&0\le t\le 3\\\ t-3,&t>3\end{cases} e G(x)=\int_{0}^{x} g(t)\,dt, o procedimento é exatamente o mesmo: calcular G(x) por intervalos usando integração direta e, se necessário, dividir o integral quando x excede o ponto de quebra da função. Ou seja, sempre:
Identifique intervalos onde f tem expressão fixa.
Para x naquele intervalo, integre diretamente.
Para x além de um ponto de quebra, some integrais dos trechos anteriores (constantes) mais a integral do trecho final (em que a variável aparece).
Passo 9
Sobre a segunda parte do enunciado (Transformada de Laplace): o enunciado diz “Para cada função a seguir, esboce o gráfico e calcule a sua Transformada de Laplace…”, mas não foram fornecidas as funções a que o enunciado se refere. Sem essas funções não é possível calcular transformadas concretas nem indicar as regiões de convergência. Na prática, para cada função h(t) a Transformada de Laplace é
e a região de convergência é o conjunto de s\in\mathbb{C} para os quais essa integral converge. Se você me enviar as funções específicas eu calculo cada transformada e a região de convergência passo a passo.
(esboço: reta de inclinação -1 de (-1,0) a (1,-2), depois parábola \tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{5}{2} para x>1; F contínua em 1 mas F' tem salto: F'(1^-)= -1, F'(1^+)=1).
Não é possível calcular as Transformadas de Laplace porque as funções referidas por “cada função a seguir” não foram fornecidas no enunciado.]