Calcule
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
Interpreto aqui que o limite inferior é a função
(isto é, o enunciado quis dizer
). Portanto as informações relevantes são:
e a pergunta é: calcular a derivada
.
Passo 2
Vou lembrar uma coisa essencial (explicando passo a passo): se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Se a função de limite superior for composta
, aplicamos a regra da cadeia:
Se ambos os limites dependem de
, escrevemos a integral como diferença de primitivas:
diferenciando obtemos (pela regra da cadeia)
Isto é o que vamos aplicar aqui. Em palavras: a derivada da integral é a soma das contribuições das extremidades; a superior entra com sinal + e a inferior com sinal −, cada uma multiplicada pela derivada do respectivo limite.
Passo 3
Identificamos as peças do problema com a fórmula do passo anterior:
Agora calculamos as derivadas dos limites:
Expliquei: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
Passo 4
Avaliamo-nos
nas extremidades
e
:
Expliquei:
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo 2:
Substituindo os resultados dos passos 3 e 4:
Podemos fatorar
se quisermos:
Isto é a expressão final da derivada; cada termo veio da avaliação de
na extremidade multiplicada pela derivada daquela extremidade (superior positiva, inferior negativa).