Calcule H^{\prime}(x) sabendo que H(x)=\int_{\text {sen }}^{x^{2}} \frac{7}{1+t^{4}} d t.

Passo 1

O enunciado dá a função
H(x)=\int_{\text{sen}}^{x^{2}} \frac{7}{1+t^{4}}\,dt.
Interpreto aqui que o limite inferior é a função \sin x (isto é, o enunciado quis dizer \text{sen }x). Portanto as informações relevantes são:
\text{(i)}\quad H(x)=\int_{\sin x}^{x^{2}} \frac{7}{1+t^{4}}\,dt,
\text{(ii)}\quad \text{integrando em }t,\\ \text{integrando }f(t)=\frac{7}{1+t^{4}},
\text{(iii)}\quad \text{limite inferior }a(x)=\sin x,\\ \text{limite superior }b(x)=x^{2},
e a pergunta é: calcular a derivada H^{\prime}(x).

Passo 2

Vou lembrar uma coisa essencial (explicando passo a passo): se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(t)=f(t)), então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
G(x)=\int_{c}^{x} f(t)\,dt \quad\Rightarrow\quad G'(x)=f(x).
Se a função de limite superior for composta x\mapsto b(x), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\Big(\int_{c}^{b(x)} f(t)\,dt\Big)=f(b(x))\cdot b'(x).
Se ambos os limites dependem de x, escrevemos a integral como diferença de primitivas:
\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x)),
diferenciando obtemos (pela regra da cadeia)
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x) - f(a(x))\,a'(x).
Isto é o que vamos aplicar aqui. Em palavras: a derivada da integral é a soma das contribuições das extremidades; a superior entra com sinal + e a inferior com sinal −, cada uma multiplicada pela derivada do respectivo limite.

Passo 3

Identificamos as peças do problema com a fórmula do passo anterior:
f(t)=\frac{7}{1+t^{4}},\qquad a(x)=\sin x,\qquad b(x)=x^{2}.
Agora calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=(\sin x)'=\cos x,
b'(x)=(x^{2})'=2x.
Expliquei: a derivada de \sin x é \cos x; a derivada de x^{2} é 2x.

Passo 4

Avaliamo-nos f nas extremidades b(x) e a(x):
f(b(x))=f(x^{2})=\frac{7}{1+(x^{2})^{4}}=\frac{7}{1+x^{8}},
f(a(x))=f(\sin x)=\frac{7}{1+(\sin x)^{4}}=\frac{7}{1+\sin^{4}x}.
Expliquei: (x^{2})^{4}=x^{8} e (\sin x)^{4}=\sin^{4}x.

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo 2:
H'(x)=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x).
Substituindo os resultados dos passos 3 e 4:
H'(x)=\frac{7}{1+x^{8}}\cdot 2x \;-\; \frac{7}{1+\sin^{4}x}\cdot \cos x.
Podemos fatorar 7 se quisermos:
H'(x)=7\!\left(\frac{2x}{1+x^{8}}-\frac{\cos x}{1+\sin^{4}x}\right).
Isto é a expressão final da derivada; cada termo veio da avaliação de f na extremidade multiplicada pela derivada daquela extremidade (superior positiva, inferior negativa).

Resposta

H'(x)=\frac{14x}{1+x^{8}}-\frac{7\cos x}{1+\sin^{4}x}.

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