Calcule
sendo
dada por:
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes: a integral é definida com limite inferior fixo e limite superior variável
; o integrando é
.
Informações relevantes: a integral é definida com limite inferior fixo
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta essencial (enunciada de forma intuitiva): se
e
é contínua perto de
, então
Isto é uma parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Intuição rápida: para
pequeno,
e, como
é contínua, dentro do intervalo pequeno
, logo a integral vale aproximadamente
. Dividindo por
e fazendo
obtém-se
.
Passo 3
Verificamos a hipótese de continuidade:
é contínua (polinômio) e
é contínua; a composição
é portanto contínua para todo
. Assim a condição do passo anterior está satisfeita e podemos aplicar o resultado.
Passo 4
Aplicando diretamente o resultado do Teorema Fundamental do Cálculo ao caso dado, com
, obtemos
Passo 5
Comentário útil para a prova: se o limite superior fosse uma função
em vez de
, isto é
então por regra da cadeia
Exemplo concreto: se
e
, então
Dica prática: na prova, sempre verifique se o integrando é contínuo; se for e o limite superior é
, a derivada é simplesmente o integrando com
trocado por
. Se o limite superior for uma função
, aplique a regra da cadeia como no exemplo acima. Força — você consegue!