F(x)=\int_{2}^{x} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t
Calcule F^{\prime}(x) sendo F dada por:

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{2}^{x}\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede para calcular F'(x).
Informações relevantes: a integral é definida com limite inferior fixo 2 e limite superior variável x; o integrando é \operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta essencial (enunciada de forma intuitiva): se
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
e f é contínua perto de x, então
G'(x)=f(x).
Isto é uma parte do Teorema Fundamental do Cálculo. Intuição rápida: para h pequeno,
G(x+h)-G(x)=\int_{x}^{x+h} f(t)\,dt,
e, como f é contínua, dentro do intervalo pequeno f(t)\approx f(x), logo a integral vale aproximadamente f(x)\,h. Dividindo por h e fazendo h\to0 obtém-se f(x).

Passo 3

Verificamos a hipótese de continuidade: t\mapsto t^{2} é contínua (polinômio) e u\mapsto\operatorname{sen}(u) é contínua; a composição t\mapsto\operatorname{sen}(t^{2}) é portanto contínua para todo t. Assim a condição do passo anterior está satisfeita e podemos aplicar o resultado.

Passo 4

Aplicando diretamente o resultado do Teorema Fundamental do Cálculo ao caso dado, com f(t)=\operatorname{sen}(t^{2}), obtemos
F'(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Comentário útil para a prova: se o limite superior fosse uma função g(x) em vez de x, isto é
H(x)=\int_{2}^{g(x)} f(t)\,dt,
então por regra da cadeia
H'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Exemplo concreto: se g(x)=x^{3} e f(t)=\operatorname{sen}(t^{2}), então
\frac{d}{dx}\int_{2}^{x^{3}}\operatorname{sen}(t^{2})\,dt=\operatorname{sen}\bigl((x^{3})^{2}\bigr)\cdot 3x^{2}=\operatorname{sen}\bigl(x^{6}\bigr)\cdot 3x^{2}.
Dica prática: na prova, sempre verifique se o integrando é contínuo; se for e o limite superior é x, a derivada é simplesmente o integrando com t trocado por x. Se o limite superior for uma função g(x), aplique a regra da cadeia como no exemplo acima. Força — você consegue!

Resposta

\displaystyle F'(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)

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