Calcule:
\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}. As informações relevantes que temos são apenas os números dentro das raízes: 45 no numerador e 5 no denominador. Note que 45 e 5 são não negativos, então as propriedades usuais de radicais reais valem.

Passo 2

Vou lembrar e explicar uma propriedade útil de radicais: para a\ge0 e b>0,
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}.
Por que isso é verdade? Se definirmos x=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, então ao elevar ao quadrado obtemos
x^{2}=\frac{a}{b}.
Como x é a razão de raízes quadradas (portanto x\ge0), temos x=\sqrt{\dfrac{a}{b}}. Essa demonstração mostra que a propriedade é segura quando trabalhamos com números não negativos.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}.

Passo 4

Calcule o quociente dentro da raiz:
\frac{45}{5}=9,
logo
\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}.

Passo 5

Reconhecendo a raiz quadrada de 9: por convenção a raiz quadrada retorna o valor não negativo, então
\sqrt{9}=3.
Portanto a expressão original vale 3.

Passo 6

Método alternativo (útil na prova): fatorar 45 como 9\cdot5 e usar \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}:
\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{9}\,\sqrt{5}=3\sqrt{5},
então
\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3,
pois \sqrt{5} é positivo e pode ser cancelado. Dica rápida: sempre que aparecer a mesma raiz no numerador e denominador, dá para simplificar assim.

Resposta

3

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