Simplifique:
\sqrt{x^{2}}=

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \sqrt{x^{2}}.
Não há outras informações dadas sobre x no enunciado.

Passo 2

Primeiro, lembrar o significado do símbolo \sqrt{\cdot} quando aplicado a números reais: para um número real t com t\ge 0, \sqrt{t} denota o único número real não negativo cuja quadrado é t. Ou seja, \sqrt{t}\ge 0 e \bigl(\sqrt{t}\bigr)^{2}=t.

Passo 3

Note que, para qualquer número real x, tem-se x^{2}\ge 0. Assim \sqrt{x^{2}} está bem definido como um número não negativo y tal que y^{2}=x^{2}. Vamos resolver a equação
y^{2}=x^{2}.
As soluções desta equação são y=x e y=-x. Mas a raiz quadrada principal exige y\ge 0. Por isso, entre as duas soluções, escolhe-se a que é não negativa.

Passo 4

Isso nos leva à forma peça‑wise (por partes):
  • Se x\ge 0, então a solução não negativa é y=x, logo \sqrt{x^{2}}=x.
  • Se x<0, então x é negativo, e a solução não negativa é y=-x (pois -x>0), logo \sqrt{x^{2}}=-x.

Passo 5

A definição por partes acima coincide exatamente com a definição do valor absoluto. Lembrando a definição do valor absoluto:
\lvert x\rvert=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Portanto a simplificação é
\sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se x=3, então \sqrt{x^{2}}=\sqrt{9}=3=\lvert 3\rvert.
  • Se x=-2, então \sqrt{x^{2}}=\sqrt{4}=2=\lvert -2\rvert.

Passo 7

Observação curta (para não confundir): a identidade \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert foi deduzida assumindo x real. Para números complexos a relação entre a raiz principal e a operação de elevar ao quadrado é mais sutil; não se pode trocar automaticamente \sqrt{z^{2}} por z quando z é complexo.

Resposta

\lvert x\rvert

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