Calcule
usando derivação implícita:
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da curva definida implicitamente pela equação
Informações dadas:
- A relação entre
e é a equação acima. - A tarefa é encontrar
usando diferenciação implícita (ou outro método válido).
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro simplifico a equação algébrica, porque às vezes é mais fácil identificar as curvas antes de derivar. Desenvolvo o lado direito:
Substituo na equação original:
Agora cancelei
dos dois lados (mesmo termo em ambos os lados):
Levo tudo para um lado:
Somando os termos semelhantes:
Dividindo por
:
Fatorando
:
Isso mostra que a relação original representa a união de duas curvas: a reta
e a reta
.
Passo 3
Comentário rápido sobre interpretação: quando uma equação implícita se factoriza em produtos, cada fator igual a zero representa uma componente da curva. Portanto cada componente tem sua própria derivada (pendente). Vou achar
para cada componente (é o jeito mais direto na prova).
Passo 4
Derivo cada componente explicitamente:
- Se
, então é constante igual a zero e portanto
- Se
, essa é uma função explícita; derivando ambos os lados em relação a ,
Passo 5
Agora faço a diferenciação implícita direta na equação original para confirmar e obter uma expressão geral (útil em pontos onde a simplificação algébrica não é tão direta). Derivo ambos os lados de
em relação a
, lembrando que:
-
. -
(regra da cadeia: derivada de é vezes porque depende de ). -
.
Aplicando:
Expando o lado direito:
Reuno os termos com
de um lado e os demais do outro:
Faturo
no lado esquerdo:
Simplifico o fator:
Isolo
(desde que o denominador não seja zero):
Essa é a forma geral obtida por diferenciação implícita. Agora verifico com as duas retas encontradas antes:
- Se
, a fórmula dá . - Se
(com ), então
No ponto
as duas curvas se interceptam; ali pode haver ambiguidade de derivada porque caminhos diferentes têm pendentes diferentes.
Resposta
Se
Se