Calcule \frac{d y}{d x} usando derivação implícita:
x^{2}-y^{2}=(x+y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada \dfrac{d y}{d x} da curva definida implicitamente pela equação
x^{2}-y^{2}=(x+y)^{2}.
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é a equação acima.
  • A tarefa é encontrar \dfrac{d y}{d x} usando diferenciação implícita (ou outro método válido).
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro simplifico a equação algébrica, porque às vezes é mais fácil identificar as curvas antes de derivar. Desenvolvo o lado direito:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Substituo na equação original:
x^{2}-y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Agora cancelei x^{2} dos dois lados (mesmo termo em ambos os lados):
-y^{2}=2xy+y^{2}.
Levo tudo para um lado:
-y^{2}-2xy-y^{2}=0.
Somando os termos semelhantes:
-2y^{2}-2xy=0.
Dividindo por -2:
y^{2}+xy=0.
Fatorando y:
y(y+x)=0.
Isso mostra que a relação original representa a união de duas curvas: a reta \,y=0 e a reta \,y=-x.

Passo 3

Comentário rápido sobre interpretação: quando uma equação implícita se factoriza em produtos, cada fator igual a zero representa uma componente da curva. Portanto cada componente tem sua própria derivada (pendente). Vou achar \dfrac{dy}{dx} para cada componente (é o jeito mais direto na prova).

Passo 4

Derivo cada componente explicitamente:
  • Se y=0, então y é constante igual a zero e portanto
\dfrac{d y}{d x}=0.
  • Se y=-x, essa é uma função explícita; derivando ambos os lados em relação a x,
\dfrac{d y}{d x} = -1.

Passo 5

Agora faço a diferenciação implícita direta na equação original para confirmar e obter uma expressão geral (útil em pontos onde a simplificação algébrica não é tão direta). Derivo ambos os lados de
x^{2}-y^{2}=(x+y)^{2}
em relação a x, lembrando que:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot\dfrac{dy}{dx} (regra da cadeia: derivada de y^{2} é 2y vezes dy/dx porque y depende de x).
  • \dfrac{d}{dx}\big((x+y)^{2}\big)=2(x+y)\cdot\dfrac{d}{dx}(x+y)=2(x+y)\big(1+\dfrac{dy}{dx}\big).
Aplicando:
2x - 2y\frac{dy}{dx} = 2(x+y)\Big(1+\frac{dy}{dx}\Big).
Expando o lado direito:
2x - 2y\frac{dy}{dx} = 2(x+y) + 2(x+y)\frac{dy}{dx}.
Reuno os termos com \dfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
-2y\frac{dy}{dx} - 2(x+y)\frac{dy}{dx} = 2(x+y) - 2x.
Faturo \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\Big(-2y - 2(x+y)\Big)\frac{dy}{dx} = 2y.
Simplifico o fator:
(-2x -4y)\frac{dy}{dx} = 2y.
Isolo \dfrac{dy}{dx} (desde que o denominador não seja zero):
\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x -4y} = -\frac{y}{x+2y}.
Essa é a forma geral obtida por diferenciação implícita. Agora verifico com as duas retas encontradas antes:
  • Se y=0, a fórmula dá \dfrac{dy}{dx}=0.
  • Se y=-x (com x\neq0), então
\frac{dy}{dx}=-\frac{-x}{x+2(-x)}=-\frac{-x}{-x}= -1.
No ponto (0,0) as duas curvas se interceptam; ali pode haver ambiguidade de derivada porque caminhos diferentes têm pendentes diferentes.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x+2y} (quando x+2y\neq0)
Se \;y=0, então \dfrac{dy}{dx}=0
Se \;y=-x, então \dfrac{dy}{dx}=-1

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