Calcule
usando derivação implícita:
Passo 1
O enunciado pede calcular
(derivada de
em relação a
) a partir da relação implícita
Informações dadas:
- A equação relaciona
e implicitamente; é função de (ou seja, ). - O que se pede é a derivada
, que também chamarei de .
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Como o lado direito é
, sua derivada é
. No lado esquerdo há duas parcelas:
e
. Diferenciaremos cada uma usando regras básicas:
- Regra da cadeia: a derivada de
é . - Regra do produto: a derivada de
é . - Lembrar que
depende de , então ao derivar coisas com aparece .
Aplicando isso, escrevemos inicialmente
Passo 3
Calcule a derivada da primeira parcela usando regra da cadeia em dois níveis:
- Tome
. Então . - Agora
(regra da potência + cadeia). - E
(novamente cadeia: derivada de é e multiplica por ).
Juntando,
Simplificando sinais,
Passo 4
Agora derive a segunda parcela
usando a regra do produto:
-
tem . -
tem .
Portanto
Simplificando,
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas e igualando a zero:
Agrupando os termos que contêm
:
Passo 6
Isolando
:
Logo
Cancelando o sinal comum
em numerador e denominador (simplificação útil):
Opcionalmente pode-se fatorar
no denominador:
observando que essa forma exige
para a fatoração/divisão.