Calcule \frac{d y}{d x} usando derivação implícita:
\operatorname{sen}\left(\cos ^{2}(y)\right)+\operatorname{sen}(x) \cos (y)=0

Passo 1

O enunciado pede calcular \dfrac{dy}{dx} (derivada de y em relação a x) a partir da relação implícita
\sin\big(\cos^{2}(y)\big)+\sin(x)\cos(y)=0.
Informações dadas:
  • A equação relaciona x e y implicitamente; y é função de x (ou seja, y=y(x)).
  • O que se pede é a derivada \dfrac{dy}{dx}, que também chamarei de y'.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Como o lado direito é 0, sua derivada é 0. No lado esquerdo há duas parcelas: \sin\big(\cos^{2}(y)\big) e \sin(x)\cos(y). Diferenciaremos cada uma usando regras básicas:
  • Regra da cadeia: a derivada de \sin(u(x)) é \cos(u(x))\cdot u'(x).
  • Regra do produto: a derivada de u(x)v(x) é u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Lembrar que y depende de x, então ao derivar coisas com y aparece y'=\dfrac{dy}{dx}.
Aplicando isso, escrevemos inicialmente
\frac{d}{dx}\left[\sin\big(\cos^{2}(y)\big)\right]+\frac{d}{dx}\left[\sin(x)\cos(y)\right]=0.

Passo 3

Calcule a derivada da primeira parcela usando regra da cadeia em dois níveis:
  • Tome u(y)=\cos^{2}(y)=(\cos(y))^{2}. Então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot u'.
  • Agora u'=\dfrac{d}{dx}\big(\cos^{2}(y)\big)=2\cos(y)\cdot\dfrac{d}{dx}\cos(y) (regra da potência + cadeia).
  • E \dfrac{d}{dx}\cos(y)=-\sin(y)\cdot y' (novamente cadeia: derivada de \cos é -\sin e multiplica por y').
Juntando,
\frac{d}{dx}\left[\sin\big(\cos^{2}(y)\big)\right] = \cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cdot\big(2\cos(y)\cdot(-\sin(y)\,y')\big).
Simplificando sinais,
\frac{d}{dx}\left[\sin\big(\cos^{2}(y)\big)\right] = -2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)\,y'.

Passo 4

Agora derive a segunda parcela \sin(x)\cos(y) usando a regra do produto:
  • u(x)=\sin(x) tem u'(x)=\cos(x).
  • v(x)=\cos(y) tem v'(x)=-\sin(y)\,y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\big[\sin(x)\cos(y)\big] = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\cdot\big(-\sin(y)\,y'\big).
Simplificando,
\frac{d}{dx}\big[\sin(x)\cos(y)\big] = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,y'.

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas e igualando a zero:
-2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)\,y' +\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,y' = 0.
Agrupando os termos que contêm y':
\big(-2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)-\sin(x)\sin(y)\big)\,y' +\cos(x)\cos(y)=0.

Passo 6

Isolando y':
\big(-2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)-\sin(x)\sin(y)\big)\,y' = -\cos(x)\cos(y).
Logo
y'=\frac{-\cos(x)\cos(y)}{-2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)-\sin(x)\sin(y)}.
Cancelando o sinal comum (-1) em numerador e denominador (simplificação útil):
y'=\frac{\cos(x)\cos(y)}{2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)+\sin(x)\sin(y)}.
Opcionalmente pode-se fatorar \sin(y) no denominador:
y'=\frac{\cos(x)\cos(y)}{\sin(y)\left(2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)+\sin(x)\right)},
observando que essa forma exige \sin(y)\neq0 para a fatoração/divisão.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{\cos(x)\cos(y)}{2\cos\big(\cos^{2}(y)\big)\cos(y)\sin(y)+\sin(x)\sin(y)}.

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