Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}}; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) )
\vec{F}(t)=\left(3 t^{2}, e^{-t}, \ln \left(t^{2}+1\right)\right), \quad t_{0}=0 ;

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça três coisas com a função vetorial \vec{F}(t) no ponto t_{0}=0:
  1. Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
  2. Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
  3. Calcular a reta tangente ao gráfico no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
As informações fornecidas são:
\vec{F}(t)=\bigl(3t^{2},\,e^{-t},\,\ln(t^{2}+1)\bigr),\qquad t_{0}=0.

Passo 2

Primeiro, uma palavrinha didática: a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \vec{F}(t)=\bigl(F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)\bigr), então
\frac{d\vec{F}}{dt}=\bigl(F_{1}'(t),\,F_{2}'(t),\,F_{3}'(t)\bigr).
Também vamos usar regras básicas de derivação:
  • Derivada de t^{n} é nt^{n-1}.
  • Regra da cadeia: se temos h(t)=g(u(t)), então h'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t).
  • Derivada de e^{u(t)} é e^{u(t)}\cdot u'(t).
  • Derivada de \ln(u(t)) é \dfrac{u'(t)}{u(t)}.
Agora aplicamos isso componente a componente.
Componente 1: F_{1}(t)=3t^{2}. Usando \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t,
F_{1}'(t)=3\cdot 2t=6t.
Componente 2: F_{2}(t)=e^{-t}. Aqui use a regra da cadeia com u(t)=-t. Temos d/dt\,e^{u}=e^{u}\cdot u', logo
F_{2}'(t)=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}.
Componente 3: F_{3}(t)=\ln(t^{2}+1). Use a composição g(u)=\ln u com u(t)=t^{2}+1. Então
F_{3}'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{2t}{t^{2}+1}.
Portanto a primeira derivada é
\frac{d\vec{F}}{dt}=\biggl(6t,\,-e^{-t},\,\frac{2t}{t^{2}+1}\biggr).

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}, isto é, derivar novamente cada componente de \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Componente 1: 6t. Derivando,
\frac{d}{dt}(6t)=6.
Componente 2: -e^{-t}. Podemos ver isso como -1\cdot e^{-t}. Derivando e aplicando a cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr) = -\bigl(e^{-t}\cdot(-1)\bigr) = e^{-t}.
Componente 3: \dfrac{2t}{t^{2}+1}. Aqui é conveniente usar a regra do quociente: se h(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)}, então
h'(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{v(t)^{2}}.
Tome u(t)=2t (logo u'(t)=2) e v(t)=t^{2}+1 (logo v'(t)=2t). Então
\frac{d}{dt}\left(\frac{2t}{t^{2}+1}\right) =\frac{2\,(t^{2}+1)-2t\cdot 2t}{(t^{2}+1)^{2}} =\frac{2t^{2}+2-4t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} =\frac{2-2t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.
Podemos fatorar 2:
\frac{d}{dt}\left(\frac{2t}{t^{2}+1}\right)=\frac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}.
Assim a segunda derivada é
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=\biggl(6,\,e^{-t},\,\frac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}\biggr).

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas em t_{0}=0.
Primeiro calcule \vec{F}(0) (ponto onde construiremos a reta):
\vec{F}(0)=\bigl(3\cdot 0^{2},\,e^{0},\,\ln(0^{2}+1)\bigr)=(0,\,1,\,0).
Avaliação da primeira derivada em 0:
\frac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=0}=\biggl(6\cdot 0,\,-e^{0},\,\frac{2\cdot 0}{0^{2}+1}\biggr)=(0,\,-1,\,0).
Avaliação da segunda derivada em 0:
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=0}=\biggl(6,\,e^{0},\,\frac{2(1-0^{2})}{(0^{2}+1)^{2}}\biggr)=(6,\,1,\,2).

Passo 5

Sobre a reta tangente: há duas interpretações possíveis que aparecem na prática:
  • Interpretação A (mais comum em funções vetoriais): a curva em \mathbb{R}^{3} parametrizada por \vec{F}(t). A reta tangente à curva em t_{0} passa por \vec{F}(t_{0}) e tem direção \vec{F}'(t_{0}). A forma paramétrica da reta, usando parâmetro \lambda, é
\vec{r}(\lambda)=\vec{F}(t_{0})+\lambda\,\vec{F}'(t_{0}).
  • Interpretação B (mais literal ao escrever o ponto como (t_{0},\vec{F}(t_{0}))): o gráfico da função como subconjunto de \mathbb{R}^{4}, (t,\vec{F}(t)). Nesse caso a derivada do vetor (t,\vec{F}(t)) é (1,\vec{F}'(t)), e a reta tangente em (t_{0},\vec{F}(t_{0})) tem direção (1,\vec{F}'(t_{0})).
Eu vou apresentar a reta tangente segundo a Interpretação A (tangent line à curva em \mathbb{R}^{3}), que é a forma pedida na maioria dos exercícios dessa natureza. Se você quiser a forma em \mathbb{R}^{4} (Interpretação B), eu também dou no final desta etapa.
Usando a Interpretação A:
  • ponto: \vec{F}(0)=(0,1,0),
  • direção: \vec{F}'(0)=(0,-1,0).
Logo a reta tangente, com parâmetro \lambda, é
\vec{r}(\lambda)=(0,1,0)+\lambda(0,-1,0)=(0,\,1-\lambda,\,0).
Isto é, em coordenadas x,y,z:
x(\lambda)=0,\qquad y(\lambda)=1-\lambda,\qquad z(\lambda)=0.
Se você preferir a Interpretação B (reta tangente ao gráfico em \mathbb{R}^{4}), a reta paramétrica seria, começando do ponto (0,0,1,0) (nota: coordenadas (t,F_{1},F_{2},F_{3})),
(0,0,1,0)+\lambda(1,0,-1,0)=(\lambda,\,0,\,1-\lambda,\,0).

Resposta

\dfrac{d\vec{F}}{dt}=\biggl(6t,\,-e^{-t},\,\dfrac{2t}{t^{2}+1}\biggr)
\dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=\biggl(6,\,e^{-t},\,\dfrac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}\biggr)
Reta tangente (curva em \mathbb{R}^{3}), em forma paramétrica: \vec{r}(\lambda)=(0,1,0)+\lambda(0,-1,0)=(0,\,1-\lambda,\,0)

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