Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}}; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) ) \vec{F}(t)=\left(3 t^{2}, e^{-t}, \ln \left(t^{2}+1\right)\right), \quad t_{0}=0 ;
Passo 1
O enunciado pede que a gente faça três coisas com a função vetorial \vec{F}(t) no ponto t_{0}=0:
Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
Calcular a reta tangente ao gráfico no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
Primeiro, uma palavrinha didática: a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \vec{F}(t)=\bigl(F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)\bigr), então
Sobre a reta tangente: há duas interpretações possíveis que aparecem na prática:
Interpretação A (mais comum em funções vetoriais): a curva em \mathbb{R}^{3} parametrizada por \vec{F}(t). A reta tangente à curva em t_{0} passa por \vec{F}(t_{0}) e tem direção \vec{F}'(t_{0}). A forma paramétrica da reta, usando parâmetro \lambda, é
Interpretação B (mais literal ao escrever o ponto como (t_{0},\vec{F}(t_{0}))): o gráfico da função como subconjunto de \mathbb{R}^{4}, (t,\vec{F}(t)). Nesse caso a derivada do vetor (t,\vec{F}(t)) é (1,\vec{F}'(t)), e a reta tangente em (t_{0},\vec{F}(t_{0})) tem direção (1,\vec{F}'(t_{0})).
Eu vou apresentar a reta tangente segundo a Interpretação A (tangent line à curva em \mathbb{R}^{3}), que é a forma pedida na maioria dos exercícios dessa natureza. Se você quiser a forma em \mathbb{R}^{4} (Interpretação B), eu também dou no final desta etapa.
Se você preferir a Interpretação B (reta tangente ao gráfico em \mathbb{R}^{4}), a reta paramétrica seria, começando do ponto (0,0,1,0) (nota: coordenadas (t,F_{1},F_{2},F_{3})),
\dfrac{d\vec{F}}{dt}=\biggl(6t,\,-e^{-t},\,\dfrac{2t}{t^{2}+1}\biggr) \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=\biggl(6,\,e^{-t},\,\dfrac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}\biggr)
Reta tangente (curva em \mathbb{R}^{3}), em forma paramétrica: \vec{r}(\lambda)=(0,1,0)+\lambda(0,-1,0)=(0,\,1-\lambda,\,0)