Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n^{2}-1}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n^{2}-1}}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
começa em
, os termos são da forma
e queremos saber o comportamento da soma infinita desses termos. Ainda não resolvemos nada neste passo, só listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Observação sobre os termos: para todo
temos
, portanto
é bem definido e positivo, e então
Ou seja, estamos lidando com uma série de termos positivos. Isso permite usar testes de comparação (que exigem positividade) sem preocupação.
Passo 3
Escolha de uma série de comparação. Uma estratégia natural é comparar com a série
, porque para grandes
temos intuitivamente
, então
deve se comportar como
. A série
é a famosa p-série; sabemos que ela converge exatamente quando
. Aqui
, logo
converge. Vou agora formalizar a comparação com um teste apropriado.
Passo 4
Apresentação do teste que vamos usar (Teste da Comparação por Limite, também chamado Limit Comparison Test). Enunciado do teste (versão usada aqui): sejam
e
sequências positivas. Se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Neste contexto, vamos tomar
e
. Agora aplicamos o teste calculando o limite
.
Passo 5
Cálculo do limite do quociente
. Escrevendo explicitamente:
Para simplificar esse limite, fatoramos
dentro da raiz:
Substituindo:
Agora tomamos o limite quando
. Como
, tem-se
Logo o limite do quociente é
, que é um número finito e estritamente positivo.
Passo 6
Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite. Como
com
, as séries
e
têm o mesmo comportamento. Já sabemos que a p-série
converge (porque
). Portanto a série dada
também converge.
Passo 7
Comentário prático (dica de prova curta alternativa): uma prova direta por comparação simples também é possível. Para
temos
(porque
então
), daí
. Assim
e como
converge (constante multiplicativa não altera a convergência), obtemos novamente que
converge. Essa via evita o cálculo do limite e funciona bem em prova curta.
Resposta
Converge.