Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Informações relevantes do enunciado que vamos usar: \,n começa em 2, os termos são da forma \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}} e queremos saber o comportamento da soma infinita desses termos. Ainda não resolvemos nada neste passo, só listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Observação sobre os termos: para todo n\ge2 temos n^{2}-1>0, portanto \sqrt{n^{2}-1} é bem definido e positivo, e então
a_n=\frac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}}>0.
Ou seja, estamos lidando com uma série de termos positivos. Isso permite usar testes de comparação (que exigem positividade) sem preocupação.

Passo 3

Escolha de uma série de comparação. Uma estratégia natural é comparar com a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, porque para grandes n temos intuitivamente \sqrt{n^{2}-1}\approx n, então a_n deve se comportar como 1/n^{2}. A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} é a famosa p-série; sabemos que ela converge exatamente quando p>1. Aqui p=2, logo \displaystyle \sum \frac{1}{n^{2}} converge. Vou agora formalizar a comparação com um teste apropriado.

Passo 4

Apresentação do teste que vamos usar (Teste da Comparação por Limite, também chamado Limit Comparison Test). Enunciado do teste (versão usada aqui): sejam (a_n) e (b_n) sequências positivas. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Neste contexto, vamos tomar a_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}} e b_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Agora aplicamos o teste calculando o limite \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}.

Passo 5

Cálculo do limite do quociente a_n/b_n. Escrevendo explicitamente:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{n^{2}}{n\sqrt{n^{2}-1}} =\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}}.
Para simplificar esse limite, fatoramos n^{2} dentro da raiz:
\sqrt{n^{2}-1}=n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}.
Substituindo:
\frac{n}{\sqrt{n^{2}-1}}=\frac{n}{n\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{1}{n^{2}}\to0, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0}}=1.
Logo o limite do quociente é L=1, que é um número finito e estritamente positivo.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite. Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1 com 0<1<\infty, as séries \displaystyle \sum a_n e \displaystyle \sum b_n têm o mesmo comportamento. Já sabemos que a p-série \displaystyle \sum \frac{1}{n^{2}} converge (porque p=2>1). Portanto a série dada
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}}
também converge.

Passo 7

Comentário prático (dica de prova curta alternativa): uma prova direta por comparação simples também é possível. Para n\ge2 temos n^{2}-1\ge \tfrac{1}{2}n^{2} (porque n^{2}\ge4 então n^{2}-1\ge n^{2}/2), daí \sqrt{n^{2}-1}\ge \dfrac{n}{\sqrt{2}}. Assim
a_n=\frac{1}{n\sqrt{n^{2}-1}}\le\frac{1}{n\cdot (n/\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}}{n^{2}},
e como \sum \frac{\sqrt{2}}{n^{2}} converge (constante multiplicativa não altera a convergência), obtemos novamente que \sum a_n converge. Essa via evita o cálculo do limite e funciona bem em prova curta.

Resposta

Converge.

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