Um gerador monofásico alimenta, por meio de uma linha, um transformador, o qual alimenta, por outra linha, uma carga. A impedância da linha que liga o gerador ao trafo: (2+\mathrm{j} 4) \Omega; A impedância de linha que liga o trafo à carga: ( 290+ j970) \Omega; Apotência absorvida pela carga: 1MVA, fator de potência 0,8 indutivo; A tensão aplicada à carga: 200 kV ; Os dados de chapa do transformador: 13,8 220 \mathrm{kV} ; 1,5 \mathrm{MVA} ; \mathrm{r}_{\mathrm{eq}}=3 \% e \mathrm{x}_{\mathrm{eq}}=8 \%.
Determinar a tensão e a corrente em todos os pontos do circuito em PU

Passo 1

O enunciado pede: determinar, em sistema por unidade (PU), as tensões e correntes em todos os pontos do circuito formado por gerador → linha 1 → transformador → linha 2 → carga.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado para não perder nada):
  • Impedância da linha entre gerador e transformador: \,(2+\mathrm{j}4)\\ \Omega.
  • Impedância da linha entre transformador e carga: \,(290+\mathrm{j}970)\\ \Omega.
  • Potência absorvida pela carga: \,1\\ \mathrm{MVA}, fator de potência 0{,}8 indutivo.
  • Tensão aplicada à carga: \,200\\ \mathrm{kV}.
  • Dados do transformador (dados de chapa): \,13{,}8/220\\ \mathrm{kV};\\\ 1{,}5\\ \mathrm{MVA};\\ r_{eq}=3\% e x_{eq}=8\%.
O que o enunciado quer explicitamente: as tensões (em pu) em cada ponto (terminais da carga, secundário do trafo, primário do trafo, terminal do gerador) e as correntes (em pu) em todo o circuito.
No próximo passo eu escolho a base em PU e explico por que, e aí começamos a converter e calcular passo a passo.

Passo 2

Escolha das bases (essencial em PU): vou usar a base do transformador para potência porque é o elemento com dado de placa. Assim escolho:
  • Base de potência: \,S_{base}=1{,}5\\ \mathrm{MVA} (mesma do trafo).
  • Base de tensão no lado de baixa (primário do trafo): \,V_{1base}=13{,}8\\ \mathrm{kV}.
  • Base de tensão no lado de alta (secundário do trafo e da carga): \,V_{2base}=220\\ \mathrm{kV}.
Motivação didática curta: em redes com transformador é prático escolher V_{base} em cada lado igual às tensões nominais do transformador; assim as quantidades em PU “casam” entre lados do trafo (simplifica conversões). Sempre usamos a mesma S_{base} para todo o sistema para comparar impedâncias diretamente.

Passo 3

Calcular as impedâncias base (fórmula): \displaystyle Z_{base}=\frac{V_{base}^2}{S_{base}}. Vou calcular para os dois lados. Lembre que \,V em volts e S em VA.
  • Para o primário (13,8 kV): Z_{base1}=\frac{(13{,}8\times10^{3})^2}{1{,}5\times10^{6}}=126{,}96\\ \Omega.
  • Para o secundário (220 kV): Z_{base2}=\frac{(220\times10^{3})^2}{1{,}5\times10^{6}}=32266{,}6667\\ \Omega.
Explicação: estas impedâncias-base servem para transformar qualquer impedância ôhmica real em PU dividindo por Z_{base} correspondente.

Passo 4

Converter as impedâncias das linhas para PU (cada linha usa o V_{base} do lado onde ela está conectada):
  • Linha 1 (entre gerador e trafo, lado 13,8 kV): \,Z_{L1}=(2+\mathrm{j}4)\\ \Omega. Em PU (base primário):
Z_{L1,p.u.}=\frac{2+\mathrm{j}4}{126{,}96}\approx 0{,}01575+\mathrm{j}0{,}03151.
  • Linha 2 (entre trafo e carga, lado 220 kV): \,Z_{L2}=(290+\mathrm{j}970)\\ \Omega. Em PU (base secundário):
Z_{L2,p.u.}=\frac{290+\mathrm{j}970}{32266{,}6667}\approx 0{,}008988+\mathrm{j}0{,}030049.
Comentário didático: aqui cada impedância está em PU na sua própria base de tensão; mais adiante vou transformar tudo para uma base única (secundário) para somar impedâncias em série sem erro.

Passo 5

Impedância do transformador em PU: nos dados foi dada como r_{eq}=3\% e x_{eq}=8\%. Em PU (na base do trafo S_{base}=1{,}5\\ \mathrm{MVA}):
Z_{tr,p.u.}=0{,}03+\mathrm{j}0{,}08.
Observação: esse valor já está pronto para ser usado com as outras impedâncias em PU, desde que todas as impedâncias estejam na mesma base (mesma S_{base} e V_{base} coerente entre lados do trafo).

Passo 6

Converter a carga para PU. A carga absorve \,S_{carga}=1\\ \mathrm{MVA} com fator de potência 0{,}8 indutivo.
  • Potência aparente em PU: \displaystyle S_{pu}=\frac{1}{1{,}5}=0{,}6666667\\ \text{pu}.
  • Como é indutiva (pf lag), \,P=S\cdot\text{pf}=0{,}8\cdot1=0{,}8\\ \mathrm{MW} e Q=+0{,}6\\ \mathrm{Mvar} (sinal positivo para reativo indutivo). Em PU:
S_{pu}=0{,}6666667\angle{+36{,}869897^\circ}=0{,}5333333+\mathrm{j}0{,}4\\ \text{pu}.
  • Tensão na carga dada: \,V_{L}=200\\ \mathrm{kV}. Em PU (base secundário 220\\ \mathrm{kV}):
V_{L,p.u.}=\frac{200}{220}=0{,}909091\\ \text{pu}\quad(\text{ângulo escolhido como }0^\circ).â

Passo 7

Corrente da carga em PU (base secundário). Fórmula fundamental (lembrando que S=V I^*):
I_{pu}=\overline{\left(\frac{S_{pu}}{V_{pu}}\right)}.
Aplicando:
\frac{S_{pu}}{V_{L,p.u.}}=\frac{0{,}5333333+\mathrm{j}0{,}4}{0{,}909091}=0{,}5866667+\mathrm{j}0{,}44.
Conjugando:
I_{pu}=0{,}5866667-\mathrm{j}0{,}44.
Vamos dar interpretação numérica também (módulo e ângulo):
|I_{pu}|=\sqrt{0{,}5866667^2+(-0{,}44)^2}\approx0{,}73295\\ \text{pu},\qquad \angle I\approx -36{,}87^\circ.
Explicação: o sinal negativo do ângulo indica que a corrente está defasada atrasada (lag) em relação à tensão, como esperado para carga indutiva.

Passo 8

Para somar impedâncias em série de todo o percurso (linha2 + trafo + linha1) eu converto a impedância da linha 1 para a base do secundário (220 kV). A fórmula de conversão entre bases de tensão (mesma S_{base}) é:
Z_{p.u.,new}=Z_{p.u.,old}\left(\frac{V_{old}}{V_{new}}\right)^2.
Aqui \left(\frac{13{,}8}{220}\right)^2\approx0{,}0039344. Então:
Z_{L1,p.u.\,(\text{ref. sec})}=(0{,}01575+\mathrm{j}0{,}03151)\cdot0{,}0039344\approx 0{,}00006199+\mathrm{j}0{,}00012399.
Agora somo as três impedâncias já referidas ao mesmo base (secundário):
Z_{total,p.u.}=Z_{L2,p.u.}+Z_{tr,p.u.}+Z_{L1,p.u.(ref)}.
Numérico:
Z_{total,p.u.}\approx (0{,}008988+\mathrm{j}0{,}030049)+(0{,}03+\mathrm{j}0{,}08)+(0{,}00006199+\mathrm{j}0{,}00012399)
\boxed{Z_{total,p.u.}\approx 0{,}039050+\mathrm{j}0{,}110173.}
Comentário didático: agora temos uma única impedância equivalente (em PU, na base secundária) que representa toda a série entre o terminal da carga e o terminal do gerador (referido à base secundária).

Passo 9

Calcular as quedas de tensão e as tensões nos pontos intermediários, usando a corrente em PU que já obtivemos (tudo na base secundária). Vamos seguir do lado da carga para o gerador (mais intuitivo):
  • Queda de tensão na linha 2: \Delta V_{L2}=I_{pu}\cdot Z_{L2,p.u.}.Multiplicando I_{pu}=0{,}5866667-\mathrm{j}0{,}44 por Z_{L2,p.u.}=0{,}008988+\mathrm{j}0{,}030049 dá (vista passo a passo multiplicando complexos): \Delta V_{L2}\approx 0{,}018495+\mathrm{j}0{,}013645.Então a tensão no terminal secundário do trafo (lado trafo) é: V_{trs,sec}=V_{L,p.u.}+\Delta V_{L2}\approx 0{,}909091 + (0{,}018495+\mathrm{j}0{,}013645)
\boxed{V_{trs,sec}\approx 0{,}927586+\mathrm{j}0{,}013645\\ \text{pu} \quad(|V| \approx 0{,}92769\\ \text{pu},\\ \angle\approx0{,}843^\circ).}
  • Queda de tensão no transformador (em PU, já na mesma base): \Delta V_{tr}=I_{pu}\cdot Z_{tr,p.u.}=(0{,}5866667-\mathrm{j}0{,}44)\cdot(0{,}03+\mathrm{j}0{,}08)
\Delta V_{tr}\approx 0{,}0528+\mathrm{j}0{,}033733.
Tensão no primário do trafo (em PU, numericamente na mesma escala graças às bases proporcionais):
V_{trs,pri}=V_{trs,sec}+\Delta V_{tr}\approx (0{,}927586+\mathrm{j}0{,}013645)+(0{,}0528+\mathrm{j}0{,}033733)
\boxed{V_{trs,pri}\approx 0{,}980386+\mathrm{j}0{,}047378\\ \text{pu}\quad(|V|\approx0{,}9815\\ \text{pu},\\ \angle\approx2{,}77^\circ).}
  • Queda de tensão na linha 1 (convertida para a base secundária, muito pequena porque a linha está no lado de baixa tensão original): \Delta V_{L1}=I_{pu}\cdot Z_{L1,p.u.(ref)}\approx 0{,}0000909+\mathrm{j}0{,}0000455.Assim a tensão no terminal do gerador (referida à mesma base secundária) é: V_{g,ref\_sec}=V_{trs,pri}+\Delta V_{L1}\approx 0{,}980386+\mathrm{j}0{,}047378+(0{,}0000909+\mathrm{j}0{,}0000455)
\boxed{V_{g,ref\_sec}\approx 0{,}980477+\mathrm{j}0{,}047424\\ \text{pu}\quad(|V|\approx0{,}9816\\ \text{pu},\\ \angle\approx2{,}77^\circ).}
Didático: todos os cálculos acima usaram a mesma corrente em PU (na base secundária) e todas as impedâncias convertidas para essa base, o que garante consistência matemática. As pequenas diferenças numéricas aparecem devido ao arredondamento dos intermediários.

Passo 10

Resumindo e convertendo (par de observações úteis):
  • A corrente em PU que circula por todo o circuito (referida à base secundária 220\\ \mathrm{kV},\,1{,}5\\ \mathrm{MVA}) é: \boxed{I_{pu}=0{,}586667-\mathrm{j}0{,}44\quad(|I|=0{,}73295\\ \text{pu},\\ \angle=-36{,}87^\circ).}
  • Tensões em PU nos pontos (cada valor é dado na sua respectiva base de tensão; por construção os valores numéricos que calculei estão na base secundária, mas pela escolha de bases coerentes o número em PU do primário do trafo coincide numericamente com o do secundário quando se quer comparar ângulos e magnitudes relativos):
    • Tensão na carga (dado): \,V_{L}=0{,}909091\\ \text{pu} (ângulo 0^\circ).
    • Tensão no secundário do trafo (lado trafo): \,V_{trs,sec}\approx0{,}927586+\mathrm{j}0{,}013645\\ \text{pu} (módulo 0{,}92769\\ \text{pu},\\ \angle0{,}843^\circ).
    • Tensão no primário do trafo (numérico em PU, coerente com a base escolhida): \,V_{trs,pri}\approx0{,}980386+\mathrm{j}0{,}047378\\ \text{pu} (módulo 0{,}9815\\ \text{pu},\\ \angle2{,}77^\circ).
    • Tensão no terminal do gerador (referida à mesma base PU usada nos cálculos): \,V_{g}\approx0{,}980477+\mathrm{j}0{,}047424\\ \text{pu} (módulo 0{,}9816\\ \text{pu},\\ \angle2{,}77^\circ).
Observação final encorajadora: os números mostram que a maior queda de tensão está no transformador (como era de esperar, pois x_{eq}=8\% é relativamente elevado) e que a linha do lado de baixa tensão pouco influencia em PU nesta base. Você consegue usar este procedimento em qualquer exercício parecido: escolha base, converta impedâncias, calcule a corrente da carga em PU e “anda” pelo circuito somando quedas I\cdot Z.

Resposta

I_{pu}=0{,}586667-\mathrm{j}0{,}44\quad(|I|=0{,}73295\\ \text{pu},\\ \angle=-36{,}87^\circ)
V_{L}=0{,}909091\\ \text{pu}
V_{trs,sec}=0{,}927586+\mathrm{j}0{,}013645\\ \text{pu}\quad(|V|=0{,}92769\\ \text{pu},\\ \angle0{,}843^\circ)
V_{trs,pri}=0{,}980386+\mathrm{j}0{,}047378\\ \text{pu}\quad(|V|=0{,}9815\\ \text{pu},\\ \angle2{,}77^\circ)
V_{g}=0{,}980477+\mathrm{j}0{,}047424\\ \text{pu}\quad(|V|=0{,}9816\\ \text{pu},\\ \angle2{,}77^\circ)

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