Calcule por frações parciais a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x
onde:
P(x)=1, Q(x)=x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
onde foi dado P(x)=1 e Q(x)=x^{2}-4. Ou seja, a integral que devemos resolver é
\int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: 1.
  • Denominador: x^{2}-4.
  • Resultado pedido: uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Note que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados, que fatoriza como
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Isso é útil porque nos permite escrever a fração como soma de frações mais simples.

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Para fatores lineares distintos (x-2) e (x+2) a forma adequada é
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é representar a fração complicada como soma de frações do tipo \dfrac{\text{constante}}{x-a}, que são fáceis de integrar.

Passo 4

Multiplicamos a identidade anterior pelo denominador comum (x-2)(x+2) para obter uma igualdade polinomial (válida para todo x\neq\pm2):
1 = A(x+2)+B(x-2).
Essa é uma identidade em x; para encontrar A e B podemos escolher valores convenientes de x.

Passo 5

Escolhemos x=2 para anular o termo com B:
1 = A(2+2)+B(0) \implies 1 = 4A \implies A=\frac{1}{4}.
Escolhemos x=-2 para anular o termo com A:
1 = A(0)+B(-2-2) \implies 1 = -4B \implies B=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição, temos
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}.
Portanto a integral se separa em duas integrais simples:
\int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}\,dx - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2}\,dx.

Passo 7

Agora usamos a fórmula básica de integração: para qualquer constante a válida,
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\big|x-a\big| + C,
porque a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Aplicando isso termo a termo,
\frac{1}{4}\int \frac{1}{x-2}\,dx - \frac{1}{4}\int \frac{1}{x+2}\,dx = \frac{1}{4}\ln\big|x-2\big| - \frac{1}{4}\ln\big|x+2\big| + C.

Passo 8

Podemos simplificar combinando os logaritmos usando a propriedade \ln u-\ln v=\ln\!\left(\dfrac{u}{v}\right). Assim
\frac{1}{4}\ln\big|x-2\big| - \frac{1}{4}\ln\big|x+2\big| = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C.
Lembre-se que a função original não está definida em x=\pm2, então a primitiva vale em intervalos onde x\neq\pm2.

Resposta

\frac{1}{4}\ln\big|x-2\big|-\frac{1}{4}\ln\big|x+2\big|+C
\text{(equivalente a) }\quad \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C

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