onde foi dado P(x)=1 e Q(x)=x^{2}-4. Ou seja, a integral que devemos resolver é
\int \frac{1}{x^{2}-4}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
Numerador: 1.
Denominador: x^{2}-4.
Resultado pedido: uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Note que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados, que fatoriza como
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Isso é útil porque nos permite escrever a fração como soma de frações mais simples.
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Para fatores lineares distintos (x-2) e (x+2) a forma adequada é
\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é representar a fração complicada como soma de frações do tipo \dfrac{\text{constante}}{x-a}, que são fáceis de integrar.
Passo 4
Multiplicamos a identidade anterior pelo denominador comum (x-2)(x+2) para obter uma igualdade polinomial (válida para todo x\neq\pm2):
1 = A(x+2)+B(x-2).
Essa é uma identidade em x; para encontrar A e B podemos escolher valores convenientes de x.