Calcule por frações parciais a integral
onde:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde
Informações dadas relevantes:
A resposta esperada é uma primitiva (uma família de funções com uma constante de integração).
Passo 2
Verificação inicial: devemos checar se a fração racional é própria (ou seja, se o grau do numerador é menor que o grau do denominador). Isso é importante porque, se o numerador tivesse grau maior ou igual ao do denominador, primeiro precisaríamos fazer divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.
Aqui o grau do numerador é
e o do denominador é
. Logo a fração é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Fatorar o denominador para identificar a forma da decomposição. A fatoração de
é a diferença de quadrados:
Como o denominador se escreve como produto de dois fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais terá a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da identidade anterior por
para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
Esta igualdade deve valer para todo
. Agora vamos resolver para
e
.
Passo 5
Método rápido: avaliar a identidade em valores de
que anulam os fatores (método das constantes cover-up).
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 6
Substituindo
e
na decomposição, temos
Assim a integral original separa-se em termos simples:
Passo 7
Lembrete de cálculo: a primitiva básica que usamos é
porque fazendo a substituição
obtemos
. Aqui
é uma constante qualquer.
Aplicando isso aos nossos termos (constante fatorada para fora da integral), obtemos
Juntando e combinando as constantes de integração:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 8
Verificação (rápida): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando.
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.