Calcule por frações parciais a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x
onde:
P(x)=2 x+1, Q(x)=x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
onde
P(x)=2x+1,\qquad Q(x)=x^{2}-1.
Informações dadas relevantes:
\text{vamos integrar } \frac{2x+1}{x^{2}-1}\text{ em relação a }x.çã
A resposta esperada é uma primitiva (uma família de funções com uma constante de integração).

Passo 2

Verificação inicial: devemos checar se a fração racional é própria (ou seja, se o grau do numerador é menor que o grau do denominador). Isso é importante porque, se o numerador tivesse grau maior ou igual ao do denominador, primeiro precisaríamos fazer divisão polinomial antes de decompor em frações parciais.
Aqui o grau do numerador é 1 e o do denominador é 2. Logo a fração é própria e podemos aplicar diretamente a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Fatorar o denominador para identificar a forma da decomposição. A fatoração de x^{2}-1 é a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Como o denominador se escreve como produto de dois fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais terá a forma
\frac{2x+1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da identidade anterior por x^{2}-1=(x-1)(x+1) para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
2x+1 = A(x+1)+B(x-1).
Esta igualdade deve valer para todo x. Agora vamos resolver para A e B.

Passo 5

Método rápido: avaliar a identidade em valores de x que anulam os fatores (método das constantes cover-up).
  • Para x=1:
2\cdot 1 + 1 = 3 = A(1+1)+B(0)=2A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.
  • Para x=-1:
2(-1)+1 = -1 = A(0)+B(-1-1)= -2B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{2}.
Portanto
A=\frac{3}{2},\qquad B=\frac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição, temos
\frac{2x+1}{x^{2}-1}=\frac{3/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}.
Assim a integral original separa-se em termos simples:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-1}\,dx = \int \frac{3/2}{x-1}\,dx + \int \frac{1/2}{x+1}\,dx.

Passo 7

Lembrete de cálculo: a primitiva básica que usamos é
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C,
porque fazendo a substituição u=x-a obtemos \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. Aqui a é uma constante qualquer.
Aplicando isso aos nossos termos (constante fatorada para fora da integral), obtemos
\int \frac{3/2}{x-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-1| + C_1,
\int \frac{1/2}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x+1| + C_2.
Juntando e combinando as constantes de integração:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 8

Verificação (rápida): derivando a primitiva encontrada deve voltar o integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1|\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{3(x+1)+1(x-1)}{2(x^{2}-1)} = \frac{4x+2}{2(x^{2}-1)} = \frac{2x+1}{x^{2}-1},
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Resposta

\frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C

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