Calcule as seguintes integrais impróprias:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
, por isso a integral é imprópria (infinito no limite superior). - Há um parâmetro
que não foi especificado; portanto precisamos analisar para quais valores de a integral converge e qual é o valor quando converge. - Vou considerar
como um número real e tratar separadamente os casos , e .
Passo 2
Conceito de integral imprópria em um intervalo infinito: quando temos uma integral do tipo
definimos ela como limite
se esse limite existir finito. Se o limite for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge. Aqui vamos aplicar exatamente essa definição com
.
Passo 3
Cálculo da primitiva (caso
): a primitiva de
é
para
, pois ao derivar
obtemos
. No nosso caso
, portanto uma primitiva de
é
Aplicando a definição de integral imprópria, para
temos
Avalio a primitiva entre
e
:
Passo 4
Caso
: quando
a quantidade
tende a
quando
(porque a exponencial decai). Então
Portanto, para
a integral converge e
(Exemplo concreto: para
obtemos
.)
Passo 5
Caso
: a integranda vira
. Assim
que, pelo teste de definição, é
Logo a integral diverge para
.
Passo 6
Caso
: escrevendo
com
, temos
, que cresce exponencialmente. A expressão que encontramos para
,
para
pode ser reescrita como
e quando
isso tende a
. Como a integranda é positiva e cresce, a integral diverge para
.
Passo 7
Comentário extra (útil na prova): se
for um número complexo, a condição de convergência é
; nesse caso a integral formal (como integral impropria de função complexa) também converge e o valor é
. Mas para números reais a análise feita nos passos anteriores (
converge para
,
diverge) é suficiente.
Resposta
Diverge (vai para