Calcule as seguintes integrais impróprias:
(b)
\int_{0}^{+\infty} e^{-s x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} e^{-s x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é e^{-s x}.
  • O intervalo de integração é [0,+\infty), por isso a integral é imprópria (infinito no limite superior).
  • Há um parâmetro s que não foi especificado; portanto precisamos analisar para quais valores de s a integral converge e qual é o valor quando converge.
  • Vou considerar s como um número real e tratar separadamente os casos s>0, s=0 e s<0.

Passo 2

Conceito de integral imprópria em um intervalo infinito: quando temos uma integral do tipo
\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx,
definimos ela como limite
\int_{0}^{+\infty} f(x)\,dx := \lim_{R\to+\infty} \int_{0}^{R} f(x)\,dx,
se esse limite existir finito. Se o limite for finito, dizemos que a integral converge; se o limite é infinito ou não existe, dizemos que diverge. Aqui vamos aplicar exatamente essa definição com f(x)=e^{-s x}.

Passo 3

Cálculo da primitiva (caso s\neq 0): a primitiva de e^{a x} é \dfrac{1}{a}e^{a x} para a\neq 0, pois ao derivar \dfrac{1}{a}e^{a x} obtemos e^{a x}. No nosso caso a=-s, portanto uma primitiva de e^{-s x} é
-\frac{1}{s} e^{-s x}\qquad\text{(válido quando \(s\neq 0\)).}á
Aplicando a definição de integral imprópria, para s\neq 0 temos
\int_{0}^{+\infty} e^{-s x}\,dx = \lim_{R\to+\infty} \int_{0}^{R} e^{-s x}\,dx = \lim_{R\to+\infty} \left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\right]_{0}^{R}.
Avalio a primitiva entre 0 e R:
\left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\right]_{0}^{R} = -\frac{1}{s}e^{-s R} -\left(-\frac{1}{s}e^{0}\right) = -\frac{1}{s}e^{-s R} + \frac{1}{s} = \frac{1}{s}\bigl(1 - e^{-s R}\bigr).

Passo 4

Caso s>0: quando s>0 a quantidade e^{-s R} tende a 0 quando R\to+\infty (porque a exponencial decai). Então
\lim_{R\to+\infty}\frac{1}{s}\bigl(1 - e^{-s R}\bigr) = \frac{1}{s}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{s}.
Portanto, para s>0 a integral converge e
\int_{0}^{+\infty} e^{-s x}\,dx = \frac{1}{s}.
(Exemplo concreto: para s=1 obtemos \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=1.)

Passo 5

Caso s=0: a integranda vira e^{0\cdot x}=1. Assim
\int_{0}^{+\infty} e^{-0\cdot x}\,dx = \int_{0}^{+\infty} 1\,dx,
que, pelo teste de definição, é
\lim_{R\to+\infty} \int_{0}^{R} 1\,dx = \lim_{R\to+\infty} R = +\infty.
Logo a integral diverge para s=0.

Passo 6

Caso s<0: escrevendo s=-\sigma com \sigma>0, temos e^{-s x}=e^{\sigma x}, que cresce exponencialmente. A expressão que encontramos para s\neq 0,
\frac{1}{s}\bigl(1 - e^{-s R}\bigr),
para s<0 pode ser reescrita como
\frac{1}{|s|}\bigl(e^{|s|R}-1\bigr),
e quando R\to+\infty isso tende a +\infty. Como a integranda é positiva e cresce, a integral diverge para s<0.

Passo 7

Comentário extra (útil na prova): se s for um número complexo, a condição de convergência é \operatorname{Re}(s)>0; nesse caso a integral formal (como integral impropria de função complexa) também converge e o valor é \dfrac{1}{s}. Mas para números reais a análise feita nos passos anteriores ( s>0 converge para \dfrac{1}{s}, s\le 0 diverge) é suficiente.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{s} para s>0.
Diverge (vai para +\infty) para s\le 0.

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