Compute o valor da seguinte integral definida:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e observações imediatas:
No intervalo dado a expressão dentro da raiz varia de
até
, então a integranda é real e contínua em
.
Passo 2
Fazemos a substituição simples e útil
. Isso serve para eliminar o fator
e transformar a raiz numa forma padrão
.
Calculemos as transformações:
Calculemos as transformações:
Os limites mudam conforme
:
Substituindo na integral obtemos
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Esta integral é a forma clássica
e fica muito simples com substituição trigonométrica
, porque
.
Façamos:
Façamos:
Mudança de limites:
Assim
Passo 4
Para integrar
usamos a identidade de redução (fórmula de ângulo duplo):
Essa identidade é muito útil porque transforma o quadrado numa soma de termos fáceis de integrar.
Passo 5
Substituindo a identidade dentro da integral:
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 6
Voltando à integral original, lembramos do fator
que apareceu no Passo 2: