Compute o valor da seguinte integral definida:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-4 x^{2}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{Integrando: } \sqrt{1-4x^{2}}.
\text{Intervalo de integração: } x\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right].çã
No intervalo dado a expressão dentro da raiz varia de \,1-4\cdot0^{2}=1 até \,1-4\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=0, então a integranda é real e contínua em \left[0,\tfrac{1}{2}\right].

Passo 2

Fazemos a substituição simples e útil \;u=2x\;. Isso serve para eliminar o fator 4x^{2} e transformar a raiz numa forma padrão \sqrt{1-u^{2}}.
Calculemos as transformações:
u=2x,\qquad du=2\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Os limites mudam conforme u=2x:
x=0\Rightarrow u=0,\qquad x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow u=1.
Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-4 x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \sqrt{1-u^{2}}\,du.

Passo 3

Agora precisamos calcular \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-u^{2}}\,du. Esta integral é a forma clássica \sqrt{1-u^{2}} e fica muito simples com substituição trigonométrica \;u=\sin\theta\;, porque \sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta.
Façamos:
u=\sin\theta,\qquad du=\cos\theta\,d\theta.
Mudança de limites:
u=0\Rightarrow \theta=0,\qquad u=1\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}.
Assim
\int_{0}^{1} \sqrt{1-u^{2}}\,du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade de redução (fórmula de ângulo duplo):
\cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta - 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}.
Essa identidade é muito útil porque transforma o quadrado numa soma de termos fáceis de integrar.

Passo 5

Substituindo a identidade dentro da integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta\,d\theta.
Calcule cada termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4},
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\big(\sin \pi - \sin 0\big)=0.
Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Voltando à integral original, lembramos do fator \tfrac{1}{2} que apareceu no Passo 2:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-4 x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \sqrt{1-u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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