Calcule por frações parciais a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)} d x
onde:
P(x)=x+3, Q(x)=x^{3}-2 x^{2}-x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx
onde P(x)=x+3 e Q(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Queremos uma primitiva da função racional \dfrac{x+3}{x^{3}-2x^{2}-x+2}.
  • P(x) é de grau 1 e Q(x) é de grau 3.
    A partir daqui vamos decompor a função racional em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Verificação rápida do grau para saber se precisamos fazer divisão polinomial antes de decompor: o grau do numerador é 1 e do denominador é 3. Como 1<3, não precisamos dividir — podemos aplicar directamente frações parciais.

Passo 3

Fatoração do denominador Q(x). Procuramos raízes racionais entre divisores de 2: \pm1,\pm2. Testando x=1:
1^{3}-2\cdot1^{2}-1+2=1-2-1+2=0,
logo x=1 é raiz e (x-1) é fator. Fazemos divisão de Q(x) por (x-1) (divisão sintética ou algébrica):
coeficientes: 1,\,-2,\,-1,\,2. Dividindo por (x-1) obtemos quociente x^{2}-x-2. Agora fatoramos o quadrático:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto
Q(x)=(x-1)(x-2)(x+1).

Passo 4

Montamos a decomposição em frações parciais apropriada para fatores lineares distintos:
\frac{x+3}{(x-1)(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar. Esta forma é a padrão: para cada fator linear distinto (x-a) aparece um termo \dfrac{\text{constante}}{x-a}.

Passo 5

Multiplicamos a identidade acima por (x-1)(x-2)(x+1) para obter uma igualdade polinomial:
x+3 = A(x-2)(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)(x-2).
Usamos o método “cover-up” (valorando em raízes) para encontrar A,B,C:
  • Tomando x=1:
1+3=4 = A(1-2)(1+1)=A(-1)(2)=-2A \implies A=-2.
  • Tomando x=2:
2+3=5 = B(2-1)(2+1)=B(1)(3)=3B \implies B=\frac{5}{3}.
  • Tomando x=-1:
-1+3=2 = C(-1-1)(-1-2)=C(-2)(-3)=6C \implies C=\frac{1}{3}.
Podemos fazer uma checagem rápida expandindo ou igualando coeficientes, mas esses valores já satisfazem a identidade (cobriram as três raízes distintas).

Passo 6

Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos
\frac{x+3}{(x-1)(x-2)(x+1)} = -\frac{2}{x-1}+\frac{5/3}{x-2}+\frac{1/3}{x+1}.
Agora integramos termo a termo. Lembre-se da fórmula básica:
\int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,
pois a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}. Usando linearidade da integral e fator constante:
\int \left(-\frac{2}{x-1}\right)dx = -2\ln|x-1|,
\int \frac{5/3}{x-2}\,dx = \frac{5}{3}\ln|x-2|,
\int \frac{1/3}{x+1}\,dx = \frac{1}{3}\ln|x+1|.

Passo 7

Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada geral:
\int \frac{x+3}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\,dx = -2\ln|x-1|+\frac{5}{3}\ln|x-2|+\frac{1}{3}\ln|x+1|+C.
Opcionalmente podemos escrever em forma compacta combinando logaritmos; por exemplo,
= \frac{1}{3}\ln\left|\frac{(x-2)^{5}(x+1)}{(x-1)^{6}}\right|+C,
mas a forma em soma de logaritmos é normalmente mais direta na prova.

Resposta

-2\ln|x-1|+\dfrac{5}{3}\ln|x-2|+\dfrac{1}{3}\ln|x+1|+C

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