Calcule por frações parciais a integral
onde:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
e
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- Queremos uma primitiva da função racional
. -
é de grau e é de grau .
A partir daqui vamos decompor a função racional em frações parciais e integrar termo a termo.
Passo 2
Verificação rápida do grau para saber se precisamos fazer divisão polinomial antes de decompor: o grau do numerador é
e do denominador é
. Como
, não precisamos dividir — podemos aplicar directamente frações parciais.
Passo 3
Fatoração do denominador
. Procuramos raízes racionais entre divisores de
:
. Testando
:
logo
é raiz e
é fator. Fazemos divisão de
por
(divisão sintética ou algébrica):
coeficientes: . Dividindo por
obtemos quociente
. Agora fatoramos o quadrático:
coeficientes:
Portanto
Passo 4
Montamos a decomposição em frações parciais apropriada para fatores lineares distintos:
onde
são constantes a determinar. Esta forma é a padrão: para cada fator linear distinto
aparece um termo
.
Passo 5
Multiplicamos a identidade acima por
para obter uma igualdade polinomial:
Usamos o método “cover-up” (valorando em raízes) para encontrar
:
- Tomando
:
- Tomando
:
- Tomando
:
Podemos fazer uma checagem rápida expandindo ou igualando coeficientes, mas esses valores já satisfazem a identidade (cobriram as três raízes distintas).
Passo 6
Substituindo os coeficientes na decomposição obtemos
Agora integramos termo a termo. Lembre-se da fórmula básica:
pois a derivada de
é
. Usando linearidade da integral e fator constante:
Passo 7
Somando as primitivas dos termos obtemos a antiderivada geral:
Opcionalmente podemos escrever em forma compacta combinando logaritmos; por exemplo,
mas a forma em soma de logaritmos é normalmente mais direta na prova.