O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}}\,dx.
Dados importantes que o enunciado fornece: a integral é tomada no intervalo [1,+\infty) e o integrando é \dfrac{1}{x^{n}} = x^{-n}. A incógnita do problema é o parâmetro \,n (que pode ser qualquer número real). A tarefa é decidir quando essa integral converge e, quando converge, calcular seu valor.
Passo 2
O que significa “integral imprópria” aqui e como a tratamos na prova: uma integral sobre um intervalo não limitado [1,+\infty) é definida como um limite de integrais sobre intervalos finitos. Escrevemos
Portanto, para n>1 a integral converge e vale \dfrac{1}{n-1}. Exemplo concreto: se n=2, o valor é \dfrac{1}{2-1}=1; de fato \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}dx=1.
Se n<1, então 1-n>0. Nesse caso A^{1-n}\to+\infty quando A\to+\infty. Assim
\frac{A^{1-n}-1}{1-n}\to+\infty,
ou seja, o limite diverge (vai para +\infty). Portanto para n<1 a integral diverge.
Passo 6
Tratar o caso especial n=1 separadamente (porque a primitiva usada antes não vale quando n=1). Se n=1 temos integrando x^{-1}=\dfrac{1}{x}. Então, para A>1,
\int_{1}^{A} \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln x\right|_{1}^{A} = \ln A - \ln 1 = \ln A.
Tomando A\to+\infty obtemos \ln A\to+\infty. Logo para n=1 a integral também diverge (vai para +\infty).
Passo 7
Conclusão unificada e interpretação final (para você decorar e usar na prova): a integral \int_{1}^{\infty} x^{-n}\,dx converge se, e somente se, n>1. Nesse caso o valor é \dfrac{1}{n-1}. Para n\le 1 a integral diverge (o valor do integral impróprio é +\infty).