Calcule as seguintes integrais impróprias:
(a)
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{n}}\,dx.
Dados importantes que o enunciado fornece: a integral é tomada no intervalo [1,+\infty) e o integrando é \dfrac{1}{x^{n}} = x^{-n}. A incógnita do problema é o parâmetro \,n (que pode ser qualquer número real). A tarefa é decidir quando essa integral converge e, quando converge, calcular seu valor.

Passo 2

O que significa “integral imprópria” aqui e como a tratamos na prova: uma integral sobre um intervalo não limitado [1,+\infty) é definida como um limite de integrais sobre intervalos finitos. Escrevemos
\int_{1}^{+\infty} x^{-n}\,dx := \lim_{A\to+\infty}\int_{1}^{A} x^{-n}\,dx,
se esse limite existir (finito). Portanto vamos calcular \int_{1}^{A} x^{-n}\,dx em termos de A e depois estudar o limite quando A\to+\infty.

Passo 3

Calcular a primitiva de x^{-n} para o caso geral n\neq 1. Usamos a regra básica de potência: para p\neq -1,
\int x^{p}\,dx = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C.
Aqui p=-n, então p+1 = 1-n. Logo, para n\neq 1,
\int x^{-n}\,dx = \frac{x^{1-n}}{1-n} + C.
Expliquei: x^{1-n} é a potência resultante e 1-n é o expoente aumentado de p em 1; dividimos por esse expoente.

Passo 4

Aplicar a primitiva entre 1 e A. Para n\neq 1,
\int_{1}^{A} x^{-n}\,dx = \left.\frac{x^{1-n}}{1-n}\right|_{1}^{A} = \frac{A^{1-n}-1}{1-n}.
É útil reescrever essa expressão de forma que fique clara a análise do limite. Podemos também escrever
\frac{A^{1-n}-1}{1-n} = \frac{1 - A^{1-n}}{n-1},
que é equivalente (multiplicando numerador e denominador por -1).

Passo 5

Estudar o limite quando A\to+\infty para n\neq 1. Há dois subcasos dependendo do sinal do expoente 1-n:
  • Se n>1, então 1-n<0. Logo A^{1-n}\to 0 quando A\to+\infty. Substituindo em
\int_{1}^{+\infty} x^{-n}\,dx = \lim_{A\to+\infty}\frac{A^{1-n}-1}{1-n},
obtemos
\lim_{A\to+\infty}\frac{A^{1-n}-1}{1-n} = \frac{0-1}{1-n} = \frac{1}{n-1}.
Portanto, para n>1 a integral converge e vale \dfrac{1}{n-1}. Exemplo concreto: se n=2, o valor é \dfrac{1}{2-1}=1; de fato \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^{2}}dx=1.
  • Se n<1, então 1-n>0. Nesse caso A^{1-n}\to+\infty quando A\to+\infty. Assim
\frac{A^{1-n}-1}{1-n}\to+\infty,
ou seja, o limite diverge (vai para +\infty). Portanto para n<1 a integral diverge.

Passo 6

Tratar o caso especial n=1 separadamente (porque a primitiva usada antes não vale quando n=1). Se n=1 temos integrando x^{-1}=\dfrac{1}{x}. Então, para A>1,
\int_{1}^{A} \frac{1}{x}\,dx = \left.\ln x\right|_{1}^{A} = \ln A - \ln 1 = \ln A.
Tomando A\to+\infty obtemos \ln A\to+\infty. Logo para n=1 a integral também diverge (vai para +\infty).

Passo 7

Conclusão unificada e interpretação final (para você decorar e usar na prova): a integral \int_{1}^{\infty} x^{-n}\,dx converge se, e somente se, n>1. Nesse caso o valor é \dfrac{1}{n-1}. Para n\le 1 a integral diverge (o valor do integral impróprio é +\infty).

Resposta

Converge se n>1 e
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{n}}\,dx=\frac{1}{n-1}\quad (n>1).
Diverge (vai para +\infty) se n\le 1.

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