Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
Não foi dado outro detalhe sobre
, então assumimos que
é um inteiro positivo (
). Observação importante: se
for par, a expressão
está definida em
; se
for ímpar, está definida em todo
. A integral indefinida deve ser encontrada em um intervalo onde a função está definida e contínua.
Passo 2
Vamos usar a regra básica de potências para primitivação (integração): se
, então
onde
é a constante de integração. Explicando essa fórmula: a derivada de
é
portanto a primitiva está correta. A condição
evita divisão por zero; no caso
a primitiva é
.
Passo 3
Identificamos o expoente da nossa função:
portanto aqui
. Aplicando a regra de potências:
Calculemos o denominador:
Logo a primitiva fica
Passo 4
Simplificando a fração invertendo o denominador:
então a primitiva final é
Verificação rápida (checar derivada): derivando
obtemos
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.
Passo 5
Observações finais e casos especiais:
- Deve-se ter
(índice de raiz não pode ser zero). - Se
for par, a expressão é válida como primitiva em qualquer intervalo contido em . - Se
for ímpar, a expressão é válida em qualquer intervalo real. - O caso
(integrando ) não ocorre aqui, pois isso exigiria , i.e. , o que não faz sentido como índice de raiz neste contexto.