Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) \int \sqrt[n]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt[n]{x}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.
Não foi dado outro detalhe sobre n, então assumimos que n é um inteiro positivo ( n\ge1). Observação importante: se n for par, a expressão \sqrt[n]{x} está definida em [0,\infty); se n for ímpar, está definida em todo \mathbb{R}. A integral indefinida deve ser encontrada em um intervalo onde a função está definida e contínua.

Passo 2

Vamos usar a regra básica de potências para primitivação (integração): se \;k\neq -1\;, então
\int x^{k}\,dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C,
onde C é a constante de integração. Explicando essa fórmula: a derivada de \dfrac{x^{k+1}}{k+1} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{k+1}}{k+1}\right) = \frac{k+1}{k+1}x^{k} = x^{k},
portanto a primitiva está correta. A condição k\neq -1 evita divisão por zero; no caso k=-1 a primitiva é \ln|x|.

Passo 3

Identificamos o expoente da nossa função:
\sqrt[n]{x} = x^{1/n},
portanto aqui k=\dfrac{1}{n}. Aplicando a regra de potências:
\int x^{1/n}\,dx = \frac{x^{1/n + 1}}{1/n + 1} + C.
Calculemos o denominador:
1/n + 1 = \frac{1+n}{n} = \frac{n+1}{n}.
Logo a primitiva fica
\frac{x^{(n+1)/n}}{(n+1)/n} + C.

Passo 4

Simplificando a fração invertendo o denominador:
\frac{1}{(n+1)/n} = \frac{n}{n+1},
então a primitiva final é
\frac{n}{n+1}\,x^{(n+1)/n} + C.
Verificação rápida (checar derivada): derivando \dfrac{n}{n+1}x^{(n+1)/n} obtemos
\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n}\,x^{1/n} = x^{1/n},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Passo 5

Observações finais e casos especiais:
  • Deve-se ter n\neq 0 (índice de raiz não pode ser zero).
  • Se n for par, a expressão é válida como primitiva em qualquer intervalo contido em [0,\infty).
  • Se n for ímpar, a expressão é válida em qualquer intervalo real.
  • O caso k=-1 (integrando x^{-1}) não ocorre aqui, pois isso exigiria 1/n=-1, i.e. n=-1, o que não faz sentido como índice de raiz neste contexto.

Resposta

\frac{n}{n+1}\,x^{(n+1)/n} + C

Exercícios relacionados