(a) Calcule a freqüência de colisão de uma única molécula de N2 numa amostra de N2 a 25 ^circ C e 1 bar. (b) Qual o tempo decorrido entre duas colisões sucessivas da molécula de N2 a 25^circ C e 1 bar? (c) Considerando que a freqüência de vibração de moléculas diatômicas, como as de N2, encontra-se na faixa de 10^13-10^14 s^-1, estime o número de vibrações da molécula de N2 entre duas colisões sucessivas. (d) Defina livre percurso médio e calcule o livre percurso médio de uma molécula de N2 a 25^circ C e 1 bar. (e) Com base no resultado obtido no item (d), analise o postulado da TCG que considera que “o tamanho das partículas é muito inferior às distâncias médias percorridas pelas partículas entre duas colisões sucessivas”. Este postulado
faz sentido? Resp: (a) z= 7,3 times 10^9 s^-1; (b) t=1,4 times 10^-10 s; (c) milhares de vibrações entre duas colisões sucessivas; (d) lambda=6,5 times 10^-8 m.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a teoria cinética dos gases (TCG) em uma amostra de N2 a 25^circC e 1 bar para calcular: frequência de colisão de uma molécula, tempo entre colisões, número de vibrações entre colisões, livre percurso médio e verificar se o diâmetro molecular é muito menor que essa distância. Precisamos de densidade numérica n, velocidade média bar v e seção de choque sigma.

Passo 2

Calculamos primeiro a densidade numérica e a velocidade média. A densidade numérica é
n=pkB T
com p=1,01times10^5 Pa, T=298 K e kB=1,38times10^-23 J/K, resultando em napprox2,45times10^25 m^-3. A massa de uma molécula de N2 é m=28,u=4,65times10^-26 kg, e a velocidade média
bar v = raiz8kB Tpi mapprox4,74times10^2 m/s
A seção de choque molecular, usando diâmetro colisional aproximado d=3,7times10^-10 m, é sigma=pi d^2approx4,3times10^-19 m^2.

Passo 3

A frequência de colisão por molécula vale
z = raiz2,n,sigma,bar v
Substituindo n, sigma e bar v obtém-se
z approx1,414times2,45times10^25times4,3times10^-19times4,74times10^2 approx7,3times10^9 s^-1

Passo 4

O tempo médio entre colisões é simplesmente o inverso de z:
tau = 1zapprox17,3times10^9approx1,37times10^-10 s

Passo 5

Como a frequência de vibração fvib da molécula está entre 10^13 e 10^14 s^-1, o número de vibrações entre colisões é
Nvib=fvib,tausim(10^13 a 10^14)times1,37times10^-10sim10^3 a 10^4,
ou seja, milhares de vibrações.

Passo 6

O livre percurso médio lambda é a distância média percorrida entre colisões, dado por
lambda=bar v,tau
ou equivalentemente
lambda=1raiz2,n,sigma
Usando bar v e tau ou diretamente lambda=1/(1,414times2,45times10^25times4,3times10^-19), encontramos
lambdaapprox6,5times10^-8 m

Passo 7

O diâmetro molecular de N2 é da ordem de 3,7times10^-10 m, enquanto lambdaapprox6,5times10^-8 m é cerca de 150 vezes maior. Logo, o postulado da TCG de que o tamanho da partícula é muito inferior às distâncias médias entre colisões faz sentido.

Resposta

(a) zapprox7,3times10^9 s^-1
(b) tauapprox1,4times10^-10 s
(c) milhares de vibrações entre duas colisões sucessivas
(d) lambdaapprox6,5times10^-8 m
(e) Faz sentido: o diâmetro (~ 3,7times10^-10 m) é muito menor que lambda.

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