Exemplo: Um circuito RC é ligado, com \mathrm{R}=200000 \Omega, \mathrm{C}=1 \times 10^{-3} \mathrm{~F} e \xi=10 \mathrm{~V}.
(a) Determine \boldsymbol{\tau}_{c};
(b) Quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja de 6 V ?

Passo 1

O enunciado diz: um circuito RC é ligado com \mathrm{R}=200000\\ \Omega, \mathrm{C}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{F} e uma fonte de tensão contínua \xi=10\\ \mathrm{V}. Pede-se:
(a) determinar o tempo característico \tau_{c};
(b) quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja 6\\ \mathrm{V}.
Informações relevantes dadas:
  • \mathrm{R}=200000\\ \Omega.
  • \mathrm{C}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{F}.
  • \xi=10\\ \mathrm{V}.
  • O circuito é ligado em t=0 e assumimos que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja, v_C(0)=0 (isto é o caso padrão quando se “liga” o circuito).

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente e a equação que descreve a carga do capacitor (aula prática rápida). Quando ligamos a fonte, a tensão da fonte \xi aparece no circuito série R C. Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões no laço obtemos:
\xi - v_R(t) - v_C(t) = 0.
Aqui v_R(t) é a queda de tensão no resistor e v_C(t) é a tensão no capacitor. A corrente instantânea i(t) no circuito satisfaz v_R(t)=R\,i(t) e, para o capacitor, i(t)=C\,\dfrac{dv_C}{dt} (porque corrente no capacitor é C vezes a taxa de variação da tensão). Substituindo, obtemos a equação diferencial que governa a carga:
\xi - R C \frac{dv_C}{dt} - v_C = 0.
Rearranjando, temos a forma padrão:
RC\frac{dv_C}{dt} + v_C = \xi.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (passo a passo didático). A equação
RC\frac{dv_C}{dt} + v_C = \xi
é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Método: solução geral = solução homogênea + solução particular.
  1. Solução homogênea: resolver RC\frac{dv_{h}}{dt} + v_{h} = 0.
    Separando variáveis ou usando forma exponencial, obtemos
    \frac{dv_{h}}{dt} = -\frac{1}{RC}v_{h} \quad\Rightarrow\quad v_{h}(t)=A e^{-t/(RC)},
    onde A é constante a determinar pela condição inicial.
  2. Solução particular: como o lado direito é constante \xi, buscamos v_{p}= constante. Substituindo na equação dá v_{p}=\xi.
  3. Solução geral:
    v_C(t)=v_{p}+v_{h}(t)=\xi + A e^{-t/(RC)}.
  4. Impor condição inicial v_C(0)=0:
    0=\xi + A e^{0} \quad\Rightarrow\quad A=-\xi.
    Logo a solução particular do problema (capacitor inicialmente descarregado) é
    v_C(t)=\xi\bigl(1 - e^{-t/(RC)}\bigr).
Aqui \tau_{c}=RC é o tempo característico (também chamado constante de tempo) que controla a velocidade de carga: tipicamente após t=\tau_{c} o capacitor atinge cerca de 1-1/e\approx 0,632 (ou 63{,}2\%) da tensão final \xi.

Passo 4

Calcular \tau_{c} numericamente usando \tau_{c}=RC. Substituindo os dados:
\tau_{c}=R C = 200000\\ \Omega \times 1\times 10^{-3}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a conta:
\tau_{c}=200000\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}=200\\ \mathrm{s}.
Interpretação rápida: esse circuito demora bastante para carregar; em 200\\ \mathrm{s} o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% de 10\\ \mathrm{V}, isto é cerca de 6{,}32\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Agora responder (b): vamos achar t tal que v_C(t)=6\\ \mathrm{V}. Usamos a fórmula encontrada:
v_C(t)=\xi\bigl(1 - e^{-t/\tau_{c}}\bigr).
Colocando \xi=10\\ \mathrm{V}, \tau_{c}=200\\ \mathrm{s} e v_C(t)=6\\ \mathrm{V}:
6 = 10\bigl(1 - e^{-t/200}\bigr).
Isolando o exponencial:
1 - e^{-t/200} = \frac{6}{10} = 0{,}6,
e^{-t/200} = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.

Passo 6

Resolver para t aplicando logaritmo natural. Tomando \ln dos dois lados:
-\frac{t}{200} = \ln(0{,}4).
Portanto
t = -200\ln(0{,}4).
Avaliação numérica: \ln(0{,}4)\approx -0{,}9162907 (valor aproximado; você pode usar a tabela ou calculadora na prova se permitir). Assim
t \approx -200\times(-0{,}9162907)=200\times 0{,}9162907 \approx 183{,}25814\\ \mathrm{s}.
Arredondando com razoável precisão:
t \approx 183{,}26\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos e segundos: 183{,}26\\ \mathrm{s}=3\\ \text{min}\\\ 3{,}26\\ \mathrm{s} (pois 3 minutos =180\\ \mathrm{s} e restam 3{,}26\\ \mathrm{s}).

Resposta

\tau_{c}=200\\ \mathrm{s}
t\approx 183{,}26\\ \mathrm{s} (aproximadamente 3\\ \text{min}\\\ 3{,}26\\ \text{s})

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