Exemplo: Um circuito RC é ligado, com
e
.
(a) Determine
;
(b) Quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja de 6 V ?
(a) Determine
(b) Quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja de 6 V ?
Passo 1
O enunciado diz: um circuito RC é ligado com
,
e uma fonte de tensão contínua
. Pede-se:
(a) determinar o tempo característico ;
(b) quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja .
(a) determinar o tempo característico
(b) quanto tempo é necessário para que o potencial no capacitor seja
Informações relevantes dadas:
-
. -
. -
. - O circuito é ligado em
e assumimos que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja, (isto é o caso padrão quando se “liga” o circuito).
Passo 2
Entendendo o que acontece fisicamente e a equação que descreve a carga do capacitor (aula prática rápida). Quando ligamos a fonte, a tensão da fonte
aparece no circuito série
–
. Aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões no laço obtemos:
Aqui
é a queda de tensão no resistor e
é a tensão no capacitor. A corrente instantânea
no circuito satisfaz
e, para o capacitor,
(porque corrente no capacitor é
vezes a taxa de variação da tensão). Substituindo, obtemos a equação diferencial que governa a carga:
Rearranjando, temos a forma padrão:
Passo 3
Resolver a equação diferencial (passo a passo didático). A equação
é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Método: solução geral = solução homogênea + solução particular.
-
Solução homogênea: resolver
.
Separando variáveis ou usando forma exponencial, obtemosondeé constante a determinar pela condição inicial. -
Solução particular: como o lado direito é constante
, buscamos constante. Substituindo na equação dá . -
Solução geral:
-
Impor condição inicial
: Logo a solução particular do problema (capacitor inicialmente descarregado) é
Aqui
é o tempo característico (também chamado constante de tempo) que controla a velocidade de carga: tipicamente após
o capacitor atinge cerca de
(ou
) da tensão final
.
Passo 4
Calcular
numericamente usando
. Substituindo os dados:
Fazendo a conta:
Interpretação rápida: esse circuito demora bastante para carregar; em
o capacitor atinge cerca de
de
, isto é cerca de
.
Passo 5
Agora responder (b): vamos achar
tal que
. Usamos a fórmula encontrada:
Colocando
,
e
:
Isolando o exponencial:
Passo 6
Resolver para
aplicando logaritmo natural. Tomando
dos dois lados:
Portanto
Avaliação numérica:
(valor aproximado; você pode usar a tabela ou calculadora na prova se permitir). Assim
Arredondando com razoável precisão:
Convertendo para minutos e segundos:
(pois
minutos
e restam
).