Calcule a função (f circ g)(x, y), determine seu domínio e represente-o no plano (R^2).
f(t)=ln (1t) e g(x, y)=(x+1)(y-3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a função composta (fcirc g)(x,y), onde f(t)=lnl(1/tr) e g(x,y)=x+1y-3, depois determinar o domínio dessa função de duas variáveis e representar graficamente no plano R^2. O conteúdo envolve composição de funções e condições de existência de logaritmo e divisão.

Passo 2

Substituímos t=g(x,y) em f(t)=lnl(1/tr):
(fcirc g)(x,y)=lnl(1x+1y-3r)
Agora simplificamos o argumento do ln:
(fcirc g)(x,y)=lnl(y-3x+1r)

Passo 3

Para o domínio, temos duas restrições:
  1. A divisão em g(x,y) exige y-3neq0.
  2. O logaritmo exige que o argumento seja positivo: y-3x+1>0
Essa desigualdade implica também x+1neq0 e que y-3 e x+1 tenham o mesmo sinal.

Passo 4

A desigualdade (y-3)/(x+1)>0 gera duas regiões:
  • Região 1: y-3>0 e x+1>0, ou seja y>3 e x>-1.
  • Região 2: y-3<0 e x+1<0, ou seja y<3 e x<-1.
    No plano, traçamos as retas verticais x=-1 e horizontais y=3 como fronteiras não incluídas, e sombreamos os quadrantes nordeste ( x>-1,,y>3) e sudoeste ( x<-1,,y<3).

Resposta

(f\circ g)(x,y)=\ln\Bigl(\frac{y-3}{x+1}\Bigr),\quad D={(x,y)\in\mathbb R^2:,(y-3)/(x+1)>0};=;{x>-1,,y>3}\cup{x<-1,,y<3},.

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