Calcule a função
, determine seu domínio e represente-o no plano
.
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a função composta
, onde
e
, depois determinar o domínio dessa função de duas variáveis e representar graficamente no plano
. O conteúdo envolve composição de funções e condições de existência de logaritmo e divisão.
Passo 2
Substituímos
em
:
Agora simplificamos o argumento do
:
Passo 3
Para o domínio, temos duas restrições:
- A divisão em
exige . - O logaritmo exige que o argumento seja positivo:
Essa desigualdade implica também
e que
e
tenham o mesmo sinal.
Passo 4
A desigualdade
gera duas regiões:
- Região 1:
e , ou seja e . - Região 2:
e , ou seja e .
No plano, traçamos as retas verticaise horizontais como fronteiras não incluídas, e sombreamos os quadrantes nordeste ( ) e sudoeste ( ).
Resposta
(f\circ g)(x,y)=\ln\Bigl(\frac{y-3}{x+1}\Bigr),\quad D={(x,y)\in\mathbb R^2:,(y-3)/(x+1)>0};=;{x>-1,,y>3}\cup{x<-1,,y<3},.