Calcule a função (f circ g)(x, y), determine seu domínio e represente-o no plano (R^2).
f(t)=raiz1-t e g(x, y)=(x-4)^24+(y+1)^29

Passo 1

O enunciado pede pra gente compor as funções e encontrar o domínio dessa nova função, que envolve uma raiz quadrada. O conteúdo é composição de funções e condição de existência de raiz real (o que exige que o radicando seja não negativo).

Passo 2

Para compor, substituímos em f(t) o valor de t=g(x,y). Assim:
(fcirc g)(x,y)=raiz1 - g(x,y)
E como g(x,y)=(x-4)^24+(y+1)^29, obtemos:
(fcirc g)(x,y)=raiz1 - l((x-4)^24+(y+1)^29r)

Passo 3

Para determinar o domínio, impomos o radicando ≥0:
1 - l((x-4)^24+(y+1)^29r)>=0
Ou seja:
(x-4)^24+(y+1)^29 <= 1
Essa desigualdade define o conjunto de todos os pontos (x,y) que tornam a função bem definida.

Passo 4

No plano R^2, esse domínio é a região interna (incluindo a fronteira) de uma elipse centrada em (4,-1), com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 3.

Resposta

(f\circ g)(x,y)=\sqrt{1-\bigl(\tfrac{(x-4)2}{4}+\tfrac{(y+1)2}{9}\bigr)}
Domínio: D={(x,y)\in\mathbb{R}2:\tfrac{(x-4)2}{4}+\tfrac{(y+1)^2}{9}\le1}

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