Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: a série de potências é . Vamos estudar convergência de séries de potências, aplicando principalmente o teste da raiz para encontrar o raio e depois analisar os extremos .
Passo 2
Cálculo do raio de convergência: pelo teste da raiz, calculamos
Como a série converge se L<1, o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Análise em x=1: a série vira
sumn=2^infty(-1)^nnln n,
uma série alternada com termos decrescentes em valor absoluto e que tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge de forma condicional.
Passo 4
Análise em x=-1: substituindo, temos
sumn=2^infty(-1)^nnln n(-1)^n= sumn=2^infty1nln n,
uma série de termos positivos que diverge (pela comparação ou teste da integral).
Resposta
Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: (-1,1], ou seja, converge para |x|<1 e converge condicionalmente em x=1, mas diverge em x=-1.