Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=2^infty (-1)^nn ln n x^n

Passo 1

Enunciado e conteúdo: a série de potências é sumn=2^infty (-1)^nnln nx^n. Vamos estudar convergência de séries de potências, aplicando principalmente o teste da raiz para encontrar o raio R e depois analisar os extremos x=pm1.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência: pelo teste da raiz, calculamos
L=limntoinftyraiz[n]gl|(-1)^nnln nx^ngr| =|x|limntoinftyraiz[n]1nln n=|x|cdot1=|x|
Como a série converge se L<1, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Análise em x=1: a série vira
sumn=2^infty(-1)^nnln n,
uma série alternada com termos decrescentes em valor absoluto e que tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, ela converge de forma condicional.

Passo 4

Análise em x=-1: substituindo, temos
sumn=2^infty(-1)^nnln n(-1)^n= sumn=2^infty1nln n,
uma série de termos positivos que diverge (pela comparação ou teste da integral).

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: (-1,1], ou seja, converge para |x|<1 e converge condicionalmente em x=1, mas diverge em x=-1.

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