Calcule a função comprimento do arco das curvas:
\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \alpha(t)=\frac{1}{2}\left(t+\sqrt{t^{2}+1},\left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right)^{-1}, \sqrt{2} \ln \left(t+\sqrt{t^{2}+1}\right)\right)

Passo 1

O enunciado fornece a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 definida por
\alpha(t)=\frac{1}{2}\Bigl(t+\sqrt{t^{2}+1},\;\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)^{-1},\;\sqrt{2}\,\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)\Bigr).
O que é pedido: calcular a função comprimento do arco associada a \alpha. Em outras palavras, encontrar uma expressão para s(t), onde s(t) é o comprimento da curva entre um parâmetro base t_{0} e o parâmetro t. Não foi dado um t_{0}, então vou escolher t_{0}=0 e, quando útil, explico a dependência do valor inicial.
Informações relevantes dadas no enunciado (listadas de forma explícita):
  • A componente 1 da curva é \dfrac{1}{2}\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).
  • A componente 2 da curva é \dfrac{1}{2}\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)^{-1}.
  • A componente 3 da curva é \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).

Passo 2

Lembrete (fórmula que vou usar): a definição do comprimento de arco de uma curva suave \alpha é
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\bigl\lVert \alpha'(u)\bigr\rVert\,du,
onde \alpha'(u) é a derivada vetorial de \alpha em u e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}. A ideia é: primeiro calculo \alpha'(t), depois \lVert\alpha'(t)\rVert e finalmente integro essa norma de t_{0} até t. Vou escolher a condição natural s(0)=0, ou seja t_{0}=0; com outra escolha de t_{0} a resposta difere só por uma constante aditiva.

Passo 3

Para simplificar a escrita, defino
f(t)=t+\sqrt{t^{2}+1},\qquad r(t)=\sqrt{t^{2}+1}.
Note que f(t)>0 para todo t. Reescrevo \alpha como
\alpha(t)=\frac{1}{2}\bigl(f(t),\,f(t)^{-1},\,\sqrt{2}\ln f(t)\bigr).

Passo 4

Calculo as derivadas necessárias usando regra da cadeia e derivada de funções elementares:
  • Derivada de r(t)=\sqrt{t^{2}+1}:
r'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}=\frac{t}{r(t)}.
  • Derivada de f(t)=t+r(t):
f'(t)=1+r'(t)=1+\frac{t}{r(t)}=\frac{r(t)+t}{r(t)}=\frac{f(t)}{r(t)}.
Observação útil (que vou usar depois): como f(t)=t+r(t), tem-se
\frac{1}{f(t)}= \frac{1}{t+r(t)} = r(t)-t,
pois (r-t)(r+t)=r^{2}-t^{2}=1. Essa identidade é muito prática para simplificações.

Passo 5

Agora calculo \alpha'(t) componente a componente:
  • Derivada da primeira componente \dfrac{1}{2}f(t) é \dfrac{1}{2}f'(t).
  • Derivada da segunda componente \dfrac{1}{2}f(t)^{-1} é \dfrac{1}{2}\bigl(-f'(t)f(t)^{-2}\bigr).
  • Derivada da terceira componente \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\ln f(t) é \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\dfrac{f'(t)}{f(t)}.
Portanto
\alpha'(t)=\frac{1}{2}\bigl(f'(t),\,-f'(t)f(t)^{-2},\,\sqrt{2}\,\frac{f'(t)}{f(t)}\bigr).

Passo 6

Factorizo f'(t) e uso f'(t)=\dfrac{f(t)}{r(t)}:
\alpha'(t)=\frac{f'(t)}{2}\Bigl(1,\,-\frac{1}{f(t)^{2}},\,\frac{\sqrt{2}}{f(t)}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{f(t)}{r(t)}\Bigl(1,\,-\frac{1}{f(t)^{2}},\,\frac{\sqrt{2}}{f(t)}\Bigr).
Multiplicando componente a componente \dfrac{f(t)}{2r(t)} com o vetor, obtemos uma forma ainda mais simples:
\alpha'(t)=\frac{1}{2r(t)}\Bigl(f(t),\,-\frac{1}{f(t)},\,\sqrt{2}\Bigr).
(Verificação rápida: por exemplo a segunda componente fica \dfrac{f}{2r}\cdot(-1/f^{2})=-\dfrac{1}{2r f}, que coincide com a derivada direta.)

Passo 7

Calculo agora a norma ao quadrado \lVert\alpha'(t)\rVert^{2}. Usando a expressão acima:
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=\frac{1}{(2r(t))^{2}}\Bigl(f(t)^{2}+\frac{1}{f(t)^{2}}+(\sqrt{2})^{2}\Bigr) =\frac{1}{4r(t)^{2}}\Bigl(f(t)^{2}+\frac{1}{f(t)^{2}}+2\Bigr).
Note que f^{2}+ \dfrac{1}{f^{2}}+2=(f+\dfrac{1}{f})^{2}. Logo
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=\frac{1}{4r(t)^{2}}\Bigl(f(t)+\frac{1}{f(t)}\Bigr)^{2}.

Passo 8

Uso a identidade que observei antes: \dfrac{1}{f(t)}=r(t)-t e f(t)=t+r(t). Assim
f(t)+\frac{1}{f(t)}=(t+r(t))+(r(t)-t)=2r(t).
Substituindo em \lVert\alpha'(t)\rVert^{2}:
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert^{2}=\frac{1}{4r(t)^{2}}\bigl(2r(t)\bigr)^{2}=\frac{1}{4r(t)^{2}}\cdot 4r(t)^{2}=1.
Portanto, para todo t\in\mathbb{R},
\bigl\lVert\alpha'(t)\bigr\rVert=1.
Comentário didático curto: isso significa que \alpha é parametrizada por comprimento de arco (ou seja, é uma parametrização unit-speed). Em termos práticos, a velocidade sempre tem norma 1.

Passo 9

Como \lVert\alpha'(u)\rVert=1 para todo u, a integral da norma é muito simples. Pela definição,
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\bigl\lVert\alpha'(u)\bigr\rVert\,du=\int_{t_{0}}^{t}1\,du = t-t_{0}.
Escolhendo a condição natural s(0)=0 (ou seja t_{0}=0), obtém-se
s(t)=t.
Se alguém preferir outra escolha de origem t_{0}, a fórmula geral é s(t)=t-t_{0}, que é a mesma curva parametrizada por comprimento de arco até uma constante aditiva.

Resposta

s(t)=t (com a escolha s(0)=0; de modo geral s(t)=t-t_{0} para s(t_{0})=0).

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