O que é pedido: calcular a função comprimento do arco associada a \alpha. Em outras palavras, encontrar uma expressão para s(t), onde s(t) é o comprimento da curva entre um parâmetro base t_{0} e o parâmetro t. Não foi dado um t_{0}, então vou escolher t_{0}=0 e, quando útil, explico a dependência do valor inicial.
Informações relevantes dadas no enunciado (listadas de forma explícita):
A componente 1 da curva é \dfrac{1}{2}\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).
A componente 2 da curva é \dfrac{1}{2}\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr)^{-1}.
A componente 3 da curva é \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr).
Passo 2
Lembrete (fórmula que vou usar): a definição do comprimento de arco de uma curva suave \alpha é
onde \alpha'(u) é a derivada vetorial de \alpha em u e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}. A ideia é: primeiro calculo \alpha'(t), depois \lVert\alpha'(t)\rVert e finalmente integro essa norma de t_{0} até t. Vou escolher a condição natural s(0)=0, ou seja t_{0}=0; com outra escolha de t_{0} a resposta difere só por uma constante aditiva.
Passo 3
Para simplificar a escrita, defino
f(t)=t+\sqrt{t^{2}+1},\qquad r(t)=\sqrt{t^{2}+1}.
Note que f(t)>0 para todo t. Reescrevo \alpha como
Comentário didático curto: isso significa que \alpha é parametrizada por comprimento de arco (ou seja, é uma parametrização unit-speed). Em termos práticos, a velocidade sempre tem norma 1.
Passo 9
Como \lVert\alpha'(u)\rVert=1 para todo u, a integral da norma é muito simples. Pela definição,
Escolhendo a condição natural s(0)=0 (ou seja t_{0}=0), obtém-se
s(t)=t.
Se alguém preferir outra escolha de origem t_{0}, a fórmula geral é s(t)=t-t_{0}, que é a mesma curva parametrizada por comprimento de arco até uma constante aditiva.
Resposta
s(t)=t (com a escolha s(0)=0; de modo geral s(t)=t-t_{0} para s(t_{0})=0).