(Curva de Agnesi) Estude a regularidade, a função curvatura e a referência de Frenet (quando corresponda) da curva \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por \alpha(t)=\left(2 a \operatorname{tg} t, 2 a \cos ^{2} t\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=\bigl(2a\operatorname{tg}t,\;2a\cos^2 t\bigr).
O que é pedido:
  • Estudar a regularidade da curva (onde \alpha'(t)\neq0).
  • Calcular a curvatura (expressão em função de t; indicar zeros e pontos onde não está definida).
  • Dar a referência de Frenet (o vetor tangente unitário T e o normal N), quando ela existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função \operatorname{tg}t=\tan t e \cos t aparecem: portanto a expressão só faz sentido quando \cos t\neq0 (i.e. t\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}).
  • A constante a aparece multiplicando tudo; casos especiais acontecem se a=0.

Passo 2

Derivada primeira (passo a passo): vou calcular \alpha'(t) componente a componente.
A componente x(t)=2a\tan t tem derivada
x'(t)=2a\frac{d}{dt}\tan t=2a\operatorname{sec}^2 t.
A componente y(t)=2a\cos^2 t tem derivada (usar d(\cos^2 t)/dt = 2\cos t(-\sin t)=-\sin 2t)
y'(t)=2a\cdot\frac{d}{dt}\cos^2 t=2a(-\sin 2t)=-2a\sin 2t.
Portanto
\alpha'(t)=\bigl(2a\operatorname{sec}^2 t,\; -2a\sin 2t\bigr).
Regularidade: uma curva é regular em t se \alpha'(t)\neq(0,0). Observe:
  • \operatorname{sec}^2 t>0 sempre que está definida (i.e. quando \cos t\neq0). Logo x'(t)=2a\operatorname{sec}^2 t é nulo somente se a=0.
  • Se a\neq0, então x'(t)\neq0 para todo t com \cos t\neq0. Assim \alpha'(t)\neq(0,0) sempre que a\neq0 e \cos t\neq0.
Conclusão sobre regularidade:
  • Se a\neq0, a curva é regular em todos os t tais que \cos t\neq0; isto é, em cada intervalo aberto
\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\; \tfrac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Se a=0, a curva é degenerada (constante) e não é interessante para Frenet.

Passo 3

Derivadas segundas (necessárias para a curvatura). Calcular componente a componente.
Para x'(t)=2a\operatorname{sec}^2 t temos (usar d(\operatorname{sec}^2 t)/dt = 2\operatorname{sec}^2 t\tan t):
x''(t)=2a\cdot 2\operatorname{sec}^2 t\tan t=4a\operatorname{sec}^2 t\tan t.
Para y'(t)=-2a\sin 2t temos (usar d(\sin 2t)/dt = 2\cos 2t):
y''(t)=-2a\cdot 2\cos 2t=-4a\cos 2t.
Portanto
\alpha''(t)=\bigl(4a\operatorname{sec}^2 t\tan t,\; -4a\cos 2t\bigr).

Passo 4

Velocidade (módulo de \alpha') e vetor tangente unitário T.
Calculo do quadrado da velocidade:
\|\alpha'(t)\|^2=(2a\operatorname{sec}^2 t)^2+(-2a\sin 2t)^2=4a^2\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr).
Logo a velocidade (módulo) é
v(t)=\|\alpha'(t)\|=2|a|\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}.
(Se assumirmos a>0 podemos tirar o valor absoluto; vou manter a\neq0 e observar que |a| aparece.)
O vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|} =\frac{\bigl(2a\operatorname{sec}^2 t,\; -2a\sin 2t\bigr)}{2|a|\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}} =\frac{\bigl(\operatorname{sec}^2 t,\; -\sin 2t\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}}.
(Isto é um vetor unitário definido sempre que \cos t\neq0 e a\neq0.)
Comentário didático curto sobre T: o vetor tangente unitário aponta na direção da velocidade; para obter T dividimos \alpha' pela sua norma. Aqui a forma ficou bem compacta porque o fator 2a cancelou.

Passo 5

Fórmula da curvatura e cálculo explícito (passo a passo).
Fórmula (para curva planar parametrizada por t): a curvatura assinada \kappa(t) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}{\bigl(\,x'(t)^2+y'(t)^2\,\bigr)^{3/2}}.
(Explicação rápida: o numerador é o determinante \det(\alpha',\alpha'') que mede a tendência de rotação da velocidade; o denominador é o cubo da velocidade e normaliza para obter uma quantidade independente da velocidade da parametrização.)
Calculemos o numerador N(t)=x'y''-y'x'' usando as derivadas obtidas:
\begin{aligned} N(t)&=(2a\operatorname{sec}^2 t)(-4a\cos 2t)-(-2a\sin 2t)(4a\operatorname{sec}^2 t\tan t)\\[4pt] &= -8a^2\operatorname{sec}^2 t\cos 2t +8a^2\operatorname{sec}^2 t\sin 2t\tan t\\[4pt] &=8a^2\operatorname{sec}^2 t\bigl(-\cos 2t+\sin 2t\tan t\bigr). \end{aligned}
Simplificamos a expressão dentro do parêntese: \sin 2t\tan t=\;2\sin^2 t (porque \sin 2t=2\sin t\cos t e \tan t=\sin t/\cos t). Além disso \cos 2t=1-2\sin^2 t. Assim
-\cos 2t+\sin 2t\tan t=-(1-2\sin^2 t)+2\sin^2 t=4\sin^2 t-1.
Logo
N(t)=8a^2\operatorname{sec}^2 t\bigl(4\sin^2 t-1\bigr).
O denominador D(t)=\bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2} já tínhamos x'^2+y'^2=4a^2(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t). Portanto
D(t)=\bigl(4a^2(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t)\bigr)^{3/2}=8|a|^3\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}.
Assim a curvatura assinada é
\kappa(t)=\frac{8a^2\operatorname{sec}^2 t\,(4\sin^2 t-1)}{8|a|^3\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}} =\frac{\operatorname{sgn}(a)\,\operatorname{sec}^2 t\,(4\sin^2 t-1)}{|a|\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}},
onde \operatorname{sgn}(a)=a/|a|. Se preferir a curvatura não assinada (valor absoluto),
|\kappa(t)|=\frac{\operatorname{sec}^2 t\,|4\sin^2 t-1|}{|a|\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}}.
Observação: em muitos textos toma-se a>0; nesse caso \operatorname{sgn}(a)=1 e as fórmulas ficam sem o \operatorname{sgn}.]

Passo 6

Pontos especiais da curvatura (onde se anula ou é indefinida).
  • Zeros da curvatura (inflexões): \kappa(t)=0 quando o numerador for zero (desde que a curva seja regular). Numerador tem fator (4\sin^2 t-1). Então
4\sin^2 t-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin^2 t=\tfrac{1}{4}.
As soluções gerais são
t=\tfrac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{ou}\quad t=\tfrac{5\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
desde que estes t não coincidam com pontos onde \cos t=0 (mas não coincidem: \cos t=0 ocorre em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi). Assim nesses t a curvatura muda de sinal e temos pontos de inflexão.
  • Pontos onde a curvatura não está definida: quando a parametrização não é válida (i.e. \cos t=0, vertical asymptotes) ou quando a=0. Portanto a curvatura só é considerada nos intervalos \left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right) (e removendo os t de inflexão se se quer \kappa\neq0).

Passo 7

Referência de Frenet (quando existe): T e N.
Já temos o tangente unitário
T(t)=\frac{\bigl(\operatorname{sec}^2 t,\; -\sin 2t\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}},
definido para \cos t\neq0 e a\neq0.
Um vetor normal unitário canônico pode ser obtido girando T em +\tfrac{\pi}{2} (rotação no plano):
N(t)=\bigl(-T_y(t),\; T_x(t)\bigr) =\frac{\bigl(\sin 2t,\; \operatorname{sec}^2 t\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}}.
(Isto fornece um par ortonormal (T,N).)
Relação com a curvatura: como lembrança prática, para parametrização genérica por t vale a fórmula de Frenet
\frac{dT}{dt}=\kappa(t)\,v(t)\,N(t),
onde v(t)=\|\alpha'(t)\|=2|a|\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}. A existência da referência de Frenet (com \kappa\neq0) exige que \alpha'\neq0 e \kappa(t)\neq0; portanto a referência existe para todos t com \cos t\neq0 e \sin^2 t\neq\tfrac{1}{4}.

Passo 8

Comentário final e forma cartesiana (ligação com a “Curva de Agnesi”).
Eliminando o parâmetro t obtemos a forma cartesiana clássica (Witch of Agnesi). Como x=2a\tan t temos \tan^2 t=\dfrac{x^2}{4a^2}. E
y=2a\cos^2 t=2a\cdot\frac{1}{1+\tan^2 t} =2a\cdot\frac{1}{1+\dfrac{x^2}{4a^2}} =\frac{8a^3}{x^2+4a^2}.
Esta é a equação clássica da curva (variação escalada da Witch of Agnesi), que explica por que existem assimptotas verticais em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (quando |x|\to\infty no limite dos intervalos).

Resposta

A curva é regular para a\neq0 em todos os t com \cos t\neq0, i.e.
t\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
O vetor tangente unitário é
T(t)=\frac{\bigl(\operatorname{sec}^2 t,\; -\sin 2t\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}}.
A curvatura assinada é
\kappa(t)=\frac{\operatorname{sgn}(a)\,\operatorname{sec}^2 t\,(4\sin^2 t-1)}{|a|\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}},
e a curvatura absoluta é
|\kappa(t)|=\frac{\operatorname{sec}^2 t\,|4\sin^2 t-1|}{|a|\bigl(\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t\bigr)^{3/2}}.
A referência de Frenet (quando \kappa(t)\neq0 e \cos t\neq0) é dada por T(t) acima e
N(t)=\frac{\bigl(\sin 2t,\; \operatorname{sec}^2 t\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sec}^4 t+\sin^2 2t}}.
Os pontos de inflexão (onde \kappa=0) ocorrem em
t=\tfrac{\pi}{6}+k\pi\quad\text{e}\quad t=\tfrac{5\pi}{6}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
e \kappa não está definida em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi (onde \cos t=0).

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