(Curva de Agnesi) Estude a regularidade, a função curvatura e a referência de Frenet (quando corresponda) da curva
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
O que é pedido:
- Estudar a regularidade da curva (onde
). - Calcular a curvatura (expressão em função de
; indicar zeros e pontos onde não está definida). - Dar a referência de Frenet (o vetor tangente unitário
e o normal ), quando ela existir.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
e aparecem: portanto a expressão só faz sentido quando (i.e. , ). - A constante
aparece multiplicando tudo; casos especiais acontecem se .
Passo 2
Derivada primeira (passo a passo): vou calcular
componente a componente.
A componente
tem derivada
A componente
tem derivada (usar
)
Portanto
Regularidade: uma curva é regular em
se
. Observe:
-
sempre que está definida (i.e. quando ). Logo é nulo somente se . - Se
, então para todo com . Assim sempre que e .
Conclusão sobre regularidade:
- Se
, a curva é regular em todos os tais que ; isto é, em cada intervalo aberto
- Se
, a curva é degenerada (constante) e não é interessante para Frenet.
Passo 3
Derivadas segundas (necessárias para a curvatura). Calcular componente a componente.
Para
temos (usar
):
Para
temos (usar
):
Portanto
Passo 4
Velocidade (módulo de
) e vetor tangente unitário
.
Calculo do quadrado da velocidade:
Logo a velocidade (módulo) é
(Se assumirmos
podemos tirar o valor absoluto; vou manter
e observar que
aparece.)
O vetor tangente unitário é
(Isto é um vetor unitário definido sempre que
e
.)
Comentário didático curto sobre
: o vetor tangente unitário aponta na direção da velocidade; para obter
dividimos
pela sua norma. Aqui a forma ficou bem compacta porque o fator
cancelou.
Passo 5
Fórmula da curvatura e cálculo explícito (passo a passo).
Fórmula (para curva planar parametrizada por
): a curvatura assinada
pode ser calculada por
(Explicação rápida: o numerador é o determinante
que mede a tendência de rotação da velocidade; o denominador é o cubo da velocidade e normaliza para obter uma quantidade independente da velocidade da parametrização.)
Calculemos o numerador
usando as derivadas obtidas:
Simplificamos a expressão dentro do parêntese:
(porque
e
). Além disso
. Assim
Logo
O denominador
já tínhamos
. Portanto
Assim a curvatura assinada é
onde
. Se preferir a curvatura não assinada (valor absoluto),
Observação: em muitos textos toma-se
; nesse caso
e as fórmulas ficam sem o
.]
Passo 6
Pontos especiais da curvatura (onde se anula ou é indefinida).
- Zeros da curvatura (inflexões):
quando o numerador for zero (desde que a curva seja regular). Numerador tem fator . Então
As soluções gerais são
desde que estes
não coincidam com pontos onde
(mas não coincidem:
ocorre em
). Assim nesses
a curvatura muda de sinal e temos pontos de inflexão.
- Pontos onde a curvatura não está definida: quando a parametrização não é válida (i.e.
, vertical asymptotes) ou quando . Portanto a curvatura só é considerada nos intervalos (e removendo os de inflexão se se quer ).
Passo 7
Referência de Frenet (quando existe):
e
.
Já temos o tangente unitário
definido para
e
.
Um vetor normal unitário canônico pode ser obtido girando
em
(rotação no plano):
(Isto fornece um par ortonormal
.)
Relação com a curvatura: como lembrança prática, para parametrização genérica por
vale a fórmula de Frenet
onde
. A existência da referência de Frenet (com
) exige que
e
; portanto a referência existe para todos
com
e
.
Passo 8
Comentário final e forma cartesiana (ligação com a “Curva de Agnesi”).
Eliminando o parâmetro
obtemos a forma cartesiana clássica (Witch of Agnesi). Como
temos
. E
Esta é a equação clássica da curva (variação escalada da Witch of Agnesi), que explica por que existem assimptotas verticais em
(quando
no limite dos intervalos).
Resposta
A curva é regular para
em todos os
com
, i.e.
O vetor tangente unitário é
A curvatura assinada é
e a curvatura absoluta é
A referência de Frenet (quando
e
) é dada por
acima e
Os pontos de inflexão (onde
) ocorrem em
e
não está definida em
(onde
).