Calcule a função comprimento do arco das curvas:
\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=\left(t, t^{2} / 2\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 definida por
\alpha(t)=\left(t,\; \dfrac{t^2}{2}\right).
A tarefa é calcular a função comprimento do arco associada a essa curva — isto é, uma função s(t) que retorna o comprimento do arco desde um parâmetro de referência até t. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de \alpha(t) nas coordenadas x e y.
  • Não foi dado um ponto de referência t_0; podemos usar t_0=0 como referência (convencional) ou apresentar a forma geral com t_0.

Passo 2

Entendendo o que é a função comprimento do arco (pequena “aula”): para uma curva regular \alpha(t) (isto é, \alpha'(t)\neq 0), a velocidade em t é \|\alpha'(t)\| — o comprimento do vetor derivada. O comprimento do arco entre t_0 e t é dado pela integral da velocidade:
s(t)=\int_{t_0}^{t} \|\alpha'(\tau)\|\,d\tau.
Aqui \tau é a variável de integração; \|\alpha'(\tau)\| significa a norma euclidiana do vetor \alpha'(\tau). Essa fórmula vem da ideia física de distância percorrida sendo a integral da velocidade ao longo do tempo.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) e a norma (velocidade). Diferenciando componente a componente:
\alpha'(t)=\left(\dfrac{d}{dt}t,\; \dfrac{d}{dt}\dfrac{t^2}{2}\right)=\left(1,\; t\right).
A norma euclidiana de \alpha'(t) é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1^2+t^2}=\sqrt{1+t^2}.
Portanto a velocidade em t é \sqrt{1+t^2}.

Passo 4

Escrever a função comprimento do arco em termos de integral. Escolhendo t_0=0 (convencional, e porque simplifica os cálculos), temos
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{1+u^2}\,du,
onde troquei a variável de integração para u para evitar confusão com o limite superior t. Se alguém preferir a forma geral com referência t_0, é
s(t)=\int_{t_0}^{t}\sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 5

Vamos calcular a integral indefinida \displaystyle \int \sqrt{1+u^2}\,du. Um método elegante usa a substituição hiperbólica u=\operatorname{sinh} v. Explico passo a passo:
  • Se u=\operatorname{sinh} v, então du=\operatorname{cosh} v\,dv.
  • Além disso, \sqrt{1+u^2}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2 v}=\operatorname{cosh} v (identidade hiperbólica).
    Assim a integral vira
\int \sqrt{1+u^2}\,du=\int \operatorname{cosh} v\cdot \operatorname{cosh} v\,dv=\int \operatorname{cosh}^2 v\,dv.
Usamos a identidade \operatorname{cosh}^2 v=\dfrac{1+\operatorname{cosh} 2v}{2}, logo
\int \operatorname{cosh}^2 v\,dv=\dfrac{1}{2}\int 1\,dv+\dfrac{1}{2}\int \operatorname{cosh} 2v\,dv =\dfrac{v}{2}+\dfrac{1}{4}\operatorname{sinh} 2v + C.
Agora transformar de volta para u. Como u=\operatorname{sinh} v então v=\operatorname{arsinh}(u) (ou \operatorname{asinh}(u)); e \operatorname{sinh} 2v=2\operatorname{sinh} v\operatorname{cosh} v=2u\sqrt{1+u^2}. Substituindo,
\int \sqrt{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\operatorname{asinh}(u)+\dfrac{1}{2}u\sqrt{1+u^2}+C.
Arrumando:
\int \sqrt{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\bigl(u\sqrt{1+u^2}+\operatorname{asinh}(u)\bigr)+C.
Observação prática: \operatorname{asinh}(u) também se escreve como \ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr), caso prefira logaritmos.

Passo 6

Aplicar o resultado para a integral definida de 0 a t. Usando a primitiva encontrada,
s(t)=\left[\dfrac{1}{2}\bigl(u\sqrt{1+u^2}+\operatorname{asinh}(u)\bigr)\right]_{u=0}^{u=t}.
Avaliar em u=t e u=0. Em u=0 temos 0\cdot\sqrt{1+0^2}=0 e \operatorname{asinh}(0)=0. Assim
s(t)=\dfrac{1}{2}\bigl(t\sqrt{1+t^2}+\operatorname{asinh}(t)\bigr).
Se preferir a forma com logaritmo:
s(t)=\dfrac{1}{2}\left(t\sqrt{1+t^2}+\ln\!\bigl(t+\sqrt{1+t^2}\bigr)\right).
Um comentário amigo: essa função é crescente e dá exatamente o comprimento do arco da parábola \bigl(t,\tfrac{t^2}{2}\bigr) desde t=0 até o parâmetro t. Se quiser outro ponto de referência t_0, basta subtrair a mesma expressão avaliada em t_0.

Resposta

s(t)=\dfrac{1}{2}\bigl(t\sqrt{1+t^2}+\operatorname{asinh}(t)\bigr)

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