Calcule a função comprimento do arco das curvas:
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
definida por
A tarefa é calcular a função comprimento do arco associada a essa curva — isto é, uma função
que retorna o comprimento do arco desde um parâmetro de referência até
. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
nas coordenadas e . - Não foi dado um ponto de referência
; podemos usar como referência (convencional) ou apresentar a forma geral com .
Passo 2
Entendendo o que é a função comprimento do arco (pequena “aula”): para uma curva regular
(isto é,
), a velocidade em
é
— o comprimento do vetor derivada. O comprimento do arco entre
e
é dado pela integral da velocidade:
Aqui
é a variável de integração;
significa a norma euclidiana do vetor
. Essa fórmula vem da ideia física de distância percorrida sendo a integral da velocidade ao longo do tempo.
Passo 3
Calcular
e a norma (velocidade). Diferenciando componente a componente:
A norma euclidiana de
é
Portanto a velocidade em
é
.
Passo 4
Escrever a função comprimento do arco em termos de integral. Escolhendo
(convencional, e porque simplifica os cálculos), temos
onde troquei a variável de integração para
para evitar confusão com o limite superior
. Se alguém preferir a forma geral com referência
, é
Passo 5
Vamos calcular a integral indefinida
. Um método elegante usa a substituição hiperbólica
. Explico passo a passo:
- Se
, então . - Além disso,
(identidade hiperbólica).
Assim a integral vira
Usamos a identidade
, logo
Agora transformar de volta para
. Como
então
(ou
); e
. Substituindo,
Arrumando:
Observação prática:
também se escreve como
, caso prefira logaritmos.
Passo 6
Aplicar o resultado para a integral definida de
a
. Usando a primitiva encontrada,
Avaliar em
e
. Em
temos
e
. Assim
Se preferir a forma com logaritmo:
Um comentário amigo: essa função é crescente e dá exatamente o comprimento do arco da parábola
desde
até o parâmetro
. Se quiser outro ponto de referência
, basta subtrair a mesma expressão avaliada em
.