(Espiral de Cornu) Calcule uma curva plana
, p.p.c.a. cuja função curvatura seja
e tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma curva plana
, parametrizada por comprimento de arco (p.p.c.a.), tal que:
- a função curvatura seja
para todo ; - e que
.
Informações dadas explicitamente:
-
. -
é parametrizada por comprimento de arco (isto é, para todo ). -
.
O que é pedido:
- apresentar uma curva
que satisfaça todas as condições acima (uma curva concreta que tenha essa curvatura e passe pela origem no parâmetro ).
Passo 2
Entender a relação entre curvatura e direção do vetor tangente (a “aula rápida” que precisamos antes de calcular).
Para uma curva plana parametrizada por comprimento de arco, a derivada primeira
tem norma
, então é um vetor unitário. Qualquer vetor unitário no plano pode ser escrito em termos de um ângulo
como
Aqui
é o ângulo que o vetor tangente faz com o eixo
no ponto
. Esse
depende de
.
A curvatura orientada
para curva parametrizada por comprimento de arco é precisamente a derivada desse ângulo:
Explicação curta do porquê: derivando
obtemos
Como
é ortogonal a
e tem magnitude
, a definição de curvatura (para parametrização por arco) dá
(sinal de
coincide com sentido de variação de
).
Passo 3
Usar a relação
com a curvatura fornecida.
Dado
, integramos para obter
. Tomando uma constante inicial
(a direção inicial do tangente que ainda não foi fixada pelo enunciado):
Portanto
Passo 4
Escrever o vetor tangente e integrar para obter
.
Como
, temos
Integrando de
a
e usando a condição
:
Ou seja,
Passo 5
Escolher uma solução particular simples (fixar
) e dar uma forma reconhecível.
Uma escolha natural e simples é tomar
(direção inicial do tangente apontando para o eixo
). Com isso:
Essas integrais não se expressam por funções elementares; são chamadas (até fator de escala) de integrais de Fresnel. Para evitar conflito de notação padrão, posso definir
e então a curva fica
. Esta curva é justamente a chamada espiral de Cornu (ou clotóide) — a que tem curvatura proporcional a
.
Passo 6
Verificação direta de que a curva encontrada tem curvatura
.
Começando de
e diferenciando:
A curvatura (orientada) para parametrização por arco pode ser calculada como o determinante
Calculando:
Logo a curvatura é exatamente
, como exigido.
Passo 7
Anotar a família completa de soluções (caso se queira outra direção inicial ou translação).
A solução geral (com ângulo inicial
e posição inicial
) é
Usando trigonometria é possível escrever isso como rotação da curva
:
onde
é a matriz de rotação de ângulo
. Portanto existe uma família de curvas (translações e rotações da espiral de Cornu) que satisfazem
; a escolha
e
dá a curva do Passo 5.