(Espiral de Cornu) Calcule uma curva plana \alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, p.p.c.a. cuja função curvatura seja k(s)=2 s e tal que \alpha(0)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma curva plana \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, parametrizada por comprimento de arco (p.p.c.a.), tal que:
  • a função curvatura seja \,k(s)=2s para todo s\in\mathbb{R};
  • e que \alpha(0)=(0,0).
Informações dadas explicitamente:
  • \,k(s)=2s.
  • \,\alpha é parametrizada por comprimento de arco (isto é, \|\alpha'(s)\|=1 para todo s).
  • \,\alpha(0)=(0,0).
O que é pedido:
  • apresentar uma curva \alpha(s) que satisfaça todas as condições acima (uma curva concreta que tenha essa curvatura e passe pela origem no parâmetro s=0).

Passo 2

Entender a relação entre curvatura e direção do vetor tangente (a “aula rápida” que precisamos antes de calcular).
Para uma curva plana parametrizada por comprimento de arco, a derivada primeira \alpha'(s) tem norma 1, então é um vetor unitário. Qualquer vetor unitário no plano pode ser escrito em termos de um ângulo \theta(s) como
\alpha'(s) = (\cos\theta(s),\;\sin\theta(s)).
Aqui \theta(s) é o ângulo que o vetor tangente faz com o eixo x no ponto s. Esse \theta(s) depende de s.
A curvatura orientada k(s) para curva parametrizada por comprimento de arco é precisamente a derivada desse ângulo:
k(s)=\theta'(s).
Explicação curta do porquê: derivando \alpha'(s) obtemos
\alpha''(s)=\theta'(s)\,(-\sin\theta(s),\;\cos\theta(s)).
Como \alpha''(s) é ortogonal a \alpha'(s) e tem magnitude |\theta'(s)|, a definição de curvatura (para parametrização por arco) dá k(s)=\theta'(s) (sinal de k coincide com sentido de variação de \theta).

Passo 3

Usar a relação \theta'(s)=k(s) com a curvatura fornecida.
Dado \,k(s)=2s, integramos para obter \theta(s). Tomando uma constante inicial \theta(0)=\theta_0 (a direção inicial do tangente que ainda não foi fixada pelo enunciado):
\theta(s)=\theta(0)+\int_{0}^{s} k(u)\,du = \theta_0 + \int_{0}^{s} 2u\,du = \theta_0 + \left[u^{2}\right]_{0}^{s} = \theta_0 + s^{2}.
Portanto
\theta(s)=\theta_0 + s^{2}.

Passo 4

Escrever o vetor tangente e integrar para obter \alpha(s).
Como \alpha'(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s)), temos
\alpha'(s)=\bigl(\cos(\theta_0 + s^{2}),\;\sin(\theta_0 + s^{2})\bigr).
Integrando de 0 a s e usando a condição \alpha(0)=(0,0):
\alpha(s)=\alpha(0)+\int_{0}^{s}\alpha'(u)\,du =(0,0)+\int_{0}^{s}\bigl(\cos(\theta_0 + u^{2}),\;\sin(\theta_0 + u^{2})\bigr)\,du.
Ou seja,
\alpha(s)=\left(\int_{0}^{s}\cos(\theta_0+u^{2})\,du,\;\int_{0}^{s}\sin(\theta_0+u^{2})\,du\right).

Passo 5

Escolher uma solução particular simples (fixar \theta_0) e dar uma forma reconhecível.
Uma escolha natural e simples é tomar \theta_0=0 (direção inicial do tangente apontando para o eixo x). Com isso:
\alpha(s)=\left(\int_{0}^{s}\cos(u^{2})\,du,\;\int_{0}^{s}\sin(u^{2})\,du\right).
Essas integrais não se expressam por funções elementares; são chamadas (até fator de escala) de integrais de Fresnel. Para evitar conflito de notação padrão, posso definir
C_0(s):=\int_{0}^{s}\cos(u^{2})\,du,\qquad S_0(s):=\int_{0}^{s}\sin(u^{2})\,du,
e então a curva fica \alpha(s)=(C_0(s),S_0(s)). Esta curva é justamente a chamada espiral de Cornu (ou clotóide) — a que tem curvatura proporcional a s.

Passo 6

Verificação direta de que a curva encontrada tem curvatura k(s)=2s.
Começando de \alpha'(s)=(\cos(s^{2}),\sin(s^{2})) e diferenciando:
\alpha''(s)=(-2s\sin(s^{2}),\;2s\cos(s^{2})).
A curvatura (orientada) para parametrização por arco pode ser calculada como o determinante
k(s)=\det\bigl(\alpha'(s),\alpha''(s)\bigr).
Calculando:
\det\bigl(\alpha'(s),\alpha''(s)\bigr) = \cos(s^{2})\cdot\bigl(2s\cos(s^{2})\bigr) - \sin(s^{2})\cdot\bigl(-2s\sin(s^{2})\bigr) = 2s\bigl(\cos^{2}(s^{2})+\sin^{2}(s^{2})\bigr)=2s.
Logo a curvatura é exatamente 2s, como exigido.

Passo 7

Anotar a família completa de soluções (caso se queira outra direção inicial ou translação).
A solução geral (com ângulo inicial \theta_0 e posição inicial \alpha(0)=(x_0,y_0)) é
\alpha(s)=(x_0,y_0)+\left(\int_{0}^{s}\cos(\theta_0+u^{2})\,du,\;\int_{0}^{s}\sin(\theta_0+u^{2})\,du\right).
Usando trigonometria é possível escrever isso como rotação da curva (C_0(s),S_0(s)):
\alpha(s)=(x_0,y_0)+R(\theta_0)\bigl(C_0(s),S_0(s)\bigr),
onde R(\theta_0) é a matriz de rotação de ângulo \theta_0. Portanto existe uma família de curvas (translações e rotações da espiral de Cornu) que satisfazem k(s)=2s; a escolha (x_0,y_0)=(0,0) e \theta_0=0 dá a curva do Passo 5.

Resposta

\displaystyle \alpha(s)=\Bigl(\int_{0}^{s}\cos(u^{2})\,du,\;\int_{0}^{s}\sin(u^{2})\,du\Bigr)
\displaystyle (Solução geral) \displaystyle \alpha(s)=(x_0,y_0)+\Bigl(\int_{0}^{s}\cos(\theta_0+u^{2})\,du,\;\int_{0}^{s}\sin(\theta_0+u^{2})\,du\Bigr)

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