Resolva a EDO : d yd x=x+y; usando a mudança de variável u=x+y; resp. : y=k e^x-x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: dydx = x + y. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente métodos de substituição para simplificar e resolver a equação. Para isso, vamos usar a mudança de variável sugerida: u = x + y.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar y em termos de u. Se u = x + y, então podemos escrever:
y = u - x
Isso vai nos ajudar a substituir y na equação original.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Como y = u - x, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dydx = dudx - 1
Essa expressão nos permite substituir dydx na equação original.

Passo 4

Substituindo dydx e y na equação original dydx = x + y, ficamos com:
dudx - 1 = x + (u - x)
Simplificando o lado direito:
dudx - 1 = u

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
dudx = u + 1
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante para uma equação da forma dudx - u = 1 é e^-x. Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator, temos:
e^-x dudx - e^-x u = e^-x
Isso nos ajuda a reescrever a equação de forma que o lado esquerdo seja a derivada de um produto.

Passo 7

Observando que o lado esquerdo agora é a derivada do produto e^-x u, podemos escrever:
ddx (e^-x u) = e^-x
Integrando ambos os lados em relação a x:
e^-x u = -e^-x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por e^x para isolarmos u:
u = -1 + C e^x

Passo 9

Lembrando que u = x + y, substituímos de volta:
x + y = -1 + C e^x
Isolando y:
y = C e^x - x - 1

Resposta

A solução da EDO é:
y = k e^x - x - 1
onde k é a constante de integração.

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