Resolva a EDO :
; usando a mudança de variável
; resp. :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias (EDOs), especificamente métodos de substituição para simplificar e resolver a equação. Para isso, vamos usar a mudança de variável sugerida:
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
. Se
, então podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a substituir
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Como
, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Essa expressão nos permite substituir
Passo 4
Substituindo
e
na equação original
, ficamos com:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante para uma equação da forma
é
. Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator, temos:
Isso nos ajuda a reescrever a equação de forma que o lado esquerdo seja a derivada de um produto.
Passo 7
Observando que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
, podemos escrever:
Integrando ambos os lados em relação a
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
para isolarmos
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Isolando
Resposta
A solução da EDO é:
onde