Demostre que a caixa com maior volume que se possa colocar dentro de uma esfera tem a forma de um cubo. (Dica: volume V=x y z sujeito ao vínculo x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.)

Passo 1

O enunciado dá que a caixa tem dimensões x, y e z (todas positivas, pois são comprimentos) e que queremos maximizar o volume
V = x y z
sujeito ao vínculo
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}.
A pergunta é: provar que a caixa de maior volume sob esse vínculo tem a forma de um cubo (ou seja, x=y=z) e determinar o valor desses lados e o volume máximo.

Passo 2

Estratégia que vou usar (explico por quê): uma maneira muito direta e simples é usar a desigualdade aritmética–geométrica (AM–GM) aplicada aos números x^{2}, y^{2} e z^{2}. É um método elementar, rápido e evita cálculo com multiplicadores de Lagrange — ideal para fazer na prova sem muita complicação.

Passo 3

Breve aula sobre AM–GM para três não-negativos. A desigualdade AM–GM diz que, para quaisquer números não-negativos u, v, w,
\frac{u+v+w}{3} \ge \big(u v w\big)^{1/3},
com igualdade exatamente quando u=v=w. Ou seja, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Exemplo rápido para fixar: se u=1, v=4, w=9, então \frac{1+4+9}{3}= \frac{14}{3} e (1\cdot4\cdot9)^{1/3}=(36)^{1/3}\approx3,30; realmente \frac{14}{3}\approx4,67\ge3,30.

Passo 4

Aplicando AM–GM aos números u=x^{2}, v=y^{2}, w=z^{2} (todos não-negativos porque são quadrados), obtemos
\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} \ge \big(x^{2}y^{2}z^{2}\big)^{1/3}.
Pelo vínculo do enunciado temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, então
\frac{a^{2}}{3} \ge \big(x^{2}y^{2}z^{2}\big)^{1/3}.
O lado direito é \big(x^{2}y^{2}z^{2}\big)^{1/3}=(xyz)^{2/3}. Assim
\frac{a^{2}}{3} \ge (xyz)^{2/3}.

Passo 5

Agora resolvo a desigualdade acima para xyz. Elevando ambos os lados à potência 3/2 (mantendo desigualdade porque tudo é não-negativo):
\left(\frac{a^{2}}{3}\right)^{3/2} \ge xyz.
Portanto
xyz \le \left(\frac{a^{2}}{3}\right)^{3/2}.
Isto dá um limite superior para o volume V=xyz. A condição de igualdade na AM–GM ocorre quando x^{2}=y^{2}=z^{2}. Como x,y,z são comprimentos positivos, isso implica x=y=z. Logo, o volume máximo ocorre quando x=y=z. Substituindo x=y=z no vínculo x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}
3x^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{a^{2}}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Conclusões numéricas: para x=y=z=\dfrac{a}{\sqrt{3}} o volume máximo é
V_{\max}=x y z=\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{a^{3}}{3^{3/2}}.
Portanto a caixa de maior volume é um cubo (todos os lados iguais), com cada lado igual a \dfrac{a}{\sqrt{3}} e volume máximo \dfrac{a^{3}}{3^{3/2}}.

Resposta

A caixa de maior volume é um cubo com x=y=z=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.
V_{\max}=\dfrac{a^{3}}{3^{3/2}}.

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