Demostre que a caixa com maior volume que se possa colocar dentro de uma esfera tem a forma de um cubo. (Dica: volume
sujeito ao vínculo
.)
Passo 1
O enunciado dá que a caixa tem dimensões
,
e
(todas positivas, pois são comprimentos) e que queremos maximizar o volume
sujeito ao vínculo
A pergunta é: provar que a caixa de maior volume sob esse vínculo tem a forma de um cubo (ou seja,
) e determinar o valor desses lados e o volume máximo.
Passo 2
Estratégia que vou usar (explico por quê): uma maneira muito direta e simples é usar a desigualdade aritmética–geométrica (AM–GM) aplicada aos números
,
e
. É um método elementar, rápido e evita cálculo com multiplicadores de Lagrange — ideal para fazer na prova sem muita complicação.
Passo 3
Breve aula sobre AM–GM para três não-negativos. A desigualdade AM–GM diz que, para quaisquer números não-negativos
,
,
,
com igualdade exatamente quando
. Ou seja, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Exemplo rápido para fixar: se
,
,
, então
e
; realmente
.
Passo 4
Aplicando AM–GM aos números
,
,
(todos não-negativos porque são quadrados), obtemos
Pelo vínculo do enunciado temos
, então
O lado direito é
. Assim
Passo 5
Agora resolvo a desigualdade acima para
. Elevando ambos os lados à potência
(mantendo desigualdade porque tudo é não-negativo):
Portanto
Isto dá um limite superior para o volume
. A condição de igualdade na AM–GM ocorre quando
. Como
são comprimentos positivos, isso implica
. Logo, o volume máximo ocorre quando
. Substituindo
no vínculo
dá
Passo 6
Conclusões numéricas: para
o volume máximo é
Portanto a caixa de maior volume é um cubo (todos os lados iguais), com cada lado igual a
e volume máximo
.
Resposta
A caixa de maior volume é um cubo com
.
.