Calcule a funçāo derivada das seguintes funçōes:
f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}+3 x\right)-\sqrt{x}}{\sin (x)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\ln\!\big(x^{2}+3x\big)-\sqrt{x}}{\sin(x)}.
Informações e restrições dadas pelo enunciado:
\text{domínio: }\;x\text{ deve satisfazer }\begin{cases} x^{2}+3x>0 &\text{(argumento do }\ln\text{)}\\[4pt] x\ge 0 &\text{(radicando de }\sqrt{x}\text{)}\\[4pt] \sin(x)\neq 0 &\text{(denominador)} \end{cases}í
A condição x^{2}+3x>0 equivale a x\in(-\infty,-3)\cup(0,\infty). Juntando com x\ge0 obtemos x>0. Finalmente, devemos excluir os pontos em que \sin(x)=0, ou seja, x\neq k\pi para k\in\mathbb{Z}. Portanto o domínio (onde a derivada faz sentido) é
x>0,\qquad x\neq k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.]

Passo 2

Vamos organizar a derivação usando a regra do quociente. Se tivermos
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então a regra do quociente diz
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui escolhemos
u(x)=\ln\!\big(x^{2}+3x\big)-\sqrt{x},\qquad v(x)=\sin(x).
Antes de aplicar a regra do quociente, vamos achar u'(x) e v'(x) separadamente. Abaixo eu explico as regras que usarei:
  • Derivada de \ln(g(x)) é \dfrac{g'(x)}{g(x)} (regra da cadeia).
  • Derivada de \sqrt{x}=x^{1/2} é \dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada de \sin(x) é \cos(x).

Passo 3

Calcular u'(x). Escrevo u(x)=\ln\!\big(x^{2}+3x\big)-\sqrt{x} como soma de duas partes e derivo cada uma.
Primeira parte: u_{1}(x)=\ln\!\big(x^{2}+3x\big).
A função interna é g(x)=x^{2}+3x. Então g'(x)=2x+3.
Pela regra da cadeia,
u_{1}'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
Segunda parte: u_{2}(x)=-\sqrt{x}=-x^{1/2}.
Derivando,
u_{2}'(x)=-\frac{1}{2}x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Somando as duas partes,
u'(x)=u_{1}'(x)+u_{2}'(x)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Calcular v'(x). Como v(x)=\sin(x), pela derivada básica de seno,
v'(x)=\cos(x).

Passo 5

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Substituindo u(x), u'(x), v(x) e v'(x) já calculados temos
f'(x)=\frac{\Big(\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Big)\sin(x)-\big(\ln\!\big(x^{2}+3x\big)-\sqrt{x}\big)\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.

Passo 6

Explico como interpretar e, se quiser, simplificar essa expressão na prova:
  • O numerador é a diferença entre duas parcelas: a primeira é u'(x)\sin(x) e a segunda é u(x)\cos(x).
  • É aceitável deixar a derivada na forma acima; se for preciso, pode-se colocar tudo sobre um único denominador comum para o termo u'(x), mas isso deixa a expressão mais longa. Por exemplo, o termo u'(x) pode ser posto sobre o denominador comum 2\sqrt{x}(x^{2}+3x), mas isso não melhora necessariamente a legibilidade.
  • Lembre-se de que a expressão só vale para x>0 e x\neq k\pi (porque usamos \sqrt{x}, \ln e dividimos por \sin^{2}(x)).

Resposta

f'(x)=\frac{\Big(\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\Big)\sin(x)-\big(\ln\!\big(x^{2}+3x\big)-\sqrt{x}\big)\cos(x)}{\sin^{2}(x)},\qquad x>0,\;x\neq k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.

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