\text{domínio: }\;x\text{ deve satisfazer }\begin{cases} x^{2}+3x>0 &\text{(argumento do }\ln\text{)}\\[4pt] x\ge 0 &\text{(radicando de }\sqrt{x}\text{)}\\[4pt] \sin(x)\neq 0 &\text{(denominador)} \end{cases}
A condição x^{2}+3x>0 equivale a x\in(-\infty,-3)\cup(0,\infty). Juntando com x\ge0 obtemos x>0. Finalmente, devemos excluir os pontos em que \sin(x)=0, ou seja, x\neq k\pi para k\in\mathbb{Z}. Portanto o domínio (onde a derivada faz sentido) é
x>0,\qquad x\neq k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.]
Passo 2
Vamos organizar a derivação usando a regra do quociente. Se tivermos
Explico como interpretar e, se quiser, simplificar essa expressão na prova:
O numerador é a diferença entre duas parcelas: a primeira é u'(x)\sin(x) e a segunda é u(x)\cos(x).
É aceitável deixar a derivada na forma acima; se for preciso, pode-se colocar tudo sobre um único denominador comum para o termo u'(x), mas isso deixa a expressão mais longa. Por exemplo, o termo u'(x) pode ser posto sobre o denominador comum 2\sqrt{x}(x^{2}+3x), mas isso não melhora necessariamente a legibilidade.
Lembre-se de que a expressão só vale para x>0 e x\neq k\pi (porque usamos \sqrt{x}, \ln e dividimos por \sin^{2}(x)).