Determine os pontos críticos e classifique-os:
z=x^{5}+y^{4}-5 x-32 y-3.

Passo 1

O enunciado dá a função z = x^{5} + y^{4} - 5x - 32y - 3 e pede: determinar os pontos críticos e classificá-los.
Informações relevantes fornecidas:
\text{função }f(x,y)=x^{5}+y^{4}-5x-32y-3.çã
Queremos encontrar todos os pontos (x,y) onde as derivadas parciais se anulam (ou são indefinidas) e, em seguida, decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achá-lo (aula rápida)?\n
  • Um ponto crítico de f é um ponto (x,y) onde o gradiente é o vetor nulo ou onde as derivadas parciais não existem. O gradiente é \nabla f=(f_x,f_y), onde f_x é a derivada parcial em relação a x e f_y em relação a y.\n
  • Aqui f é polinomial, então as derivadas parciais existem em todo lugar. Logo procuramos as soluções do sistema
f_x(x,y)=0,\qquad f_y(x,y)=0.
Vou calcular f_x e f_y passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais.\n
  • Derivando em x: a derivada de x^5 em relação a x é 5x^4; as outras parcelas que dependem de x são -5x cuja derivada é -5; termos que não dependem de x têm derivada zero. Portanto
f_x(x,y)=5x^4-5=5(x^4-1).
  • Derivando em y: a derivada de y^4 em relação a y é 4y^3; a derivada de -32y é -32; os demais termos não dependem de y. Logo
f_y(x,y)=4y^3-32=4(y^3-8).

Passo 4

Resolver o sistema \;f_x=0,\;f_y=0.\n
  • Da equação \;f_x=0 temos
5(x^4-1)=0 \implies x^4=1.
Para x real, isso dá as soluções
x=1\quad\text{ou}\quad x=-1,
pois x^4=1 tem somente x=\pm1 reais.\n
  • Da equação \;f_y=0 temos
4(y^3-8)=0 \implies y^3=8 \implies y=2,
pois 2^3=8 e é a única raiz real.\n
Combinando as soluções para x e y, os pontos críticos reais são
(1,2)\quad\text{e}\quad(-1,2).

Passo 5

Como classificar cada ponto crítico? (teste da segunda derivada)\n
  • Construímos as derivadas segundas parciais e a matriz Hessiana. Para funções de duas variáveis, a Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
e o discriminante é
D = \det(H) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2.
O teste é:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.\n
    Vou calcular as segundas derivadas.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas parciais e avaliar em cada ponto.\n
  • Derivadas segundas gerais:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(5x^4-5)=20x^3,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4y^3-32)=12y^2,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(5x^4-5)=0,\qquad f_{yx}=0.
  • Avaliando em (1,2):
f_{xx}(1,2)=20\cdot1^3=20,
f_{yy}(1,2)=12\cdot2^2=12\cdot4=48,
f_{xy}(1,2)=0.
Logo o discriminante vale
D(1,2)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=20\cdot48-0=960>0.
Como D(1,2)>0 e f_{xx}(1,2)=20>0, concluímos que (1,2) é um mínimo local.\n
  • Avaliando em (-1,2):
f_{xx}(-1,2)=20\cdot(-1)^3=20\cdot(-1)=-20,
f_{yy}(-1,2)=12\cdot2^2=48,
f_{xy}(-1,2)=0.
O discriminante é
D(-1,2)=(-20)\cdot48-0=-960<0.
Como D(-1,2)<0, concluímos que (-1,2) é um ponto de sela.

Resposta

(1,2) — mínimo local
(-1,2) — ponto de sela

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