Determine os pontos críticos e classifique-os:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar os pontos críticos e classificá-los.
Informações relevantes fornecidas:
Queremos encontrar todos os pontos
onde as derivadas parciais se anulam (ou são indefinidas) e, em seguida, decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achá-lo (aula rápida)?\n
- Um ponto crítico de
é um ponto onde o gradiente é o vetor nulo ou onde as derivadas parciais não existem. O gradiente é , onde é a derivada parcial em relação a e em relação a .\n - Aqui
é polinomial, então as derivadas parciais existem em todo lugar. Logo procuramos as soluções do sistema
Vou calcular
e
passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais.\n
- Derivando em
: a derivada de em relação a é ; as outras parcelas que dependem de são cuja derivada é ; termos que não dependem de têm derivada zero. Portanto
- Derivando em
: a derivada de em relação a é ; a derivada de é ; os demais termos não dependem de . Logo
Passo 4
Resolver o sistema
.\n
- Da equação
temos
Para
real, isso dá as soluções
pois
tem somente
reais.\n
- Da equação
temos
pois
e é a única raiz real.\n
Combinando as soluções para e
, os pontos críticos reais são
Combinando as soluções para
Passo 5
Como classificar cada ponto crítico? (teste da segunda derivada)\n
- Construímos as derivadas segundas parciais e a matriz Hessiana. Para funções de duas variáveis, a Hessiana é
e o discriminante é
O teste é:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.\n
Vou calcular as segundas derivadas.
Passo 6
Calcular as segundas derivadas parciais e avaliar em cada ponto.\n
- Derivadas segundas gerais:
- Avaliando em
:
Logo o discriminante vale
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local.\n
- Avaliando em
:
O discriminante é
Como
, concluímos que
é um ponto de sela.